On Wed, Nov 20, 2002 at 09:36:19PM -0400, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > (1) Usando a mesma linguagem segundo a qual a expressão > > A = sqrt(B) > > é lida como "A é igual à raiz quadrada de B", como ler a expressão > > ln : C - {z in R, z <= 0} -> C ?
A função ln tem como domínio o seguinte conjunto X de números complexos. Todos os números complexos não reais pertencem a X; os números reais estritamente positivos também pertencem a X; o número 0 e os reais negativos não pertencem a X. > (2) N diz "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... ". Por que > precisamos fazer um corte (ou por que "A função ln não pode ser definida > assim: ln : C - {0} -> C") ? Não existe uma função contínua f: C - {0} -> C satisfazendo exp(f(z)) = z para todo z in C - {0}. O problema é com a parte imaginária de ln z que é o argumento de z pois se z = r e^(it) queremos definir ln(z) = ln(r) + it. Não podemos definir continuamente o argumento pois quando damos uma volta completa o argumento deve aumentar de 2 Pi e ficar constante ao mesmo tempo o que é um absurdo. > (3) A afirmação "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... e escolhas > diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z" me deixa com a > idéia de que eu posso escolher o corte que me convier, o que faz com que a > função "ln z" não tenha uma definição única. É isso mesmo? Para qualquer conjunto aberto e simplesmente conexo X contido em C com 0 não pertencente a X e 1 pertence a X existe uma única função contínua f: X -> C satisfazendo f(1) = 0 e exp(f(z)) = z para todo z in X. De novo a questão é definir continuamente o argumento. > (4) Faz sentido dizer que um número complexo é positivo ou negativo? Se > fizer, quando ele é positivo e quando é negativo? Não existe nenhuma definição útil ou usual de número complexo positivo. Para mim quando se escreve 'z > 0' o que se está dizendo implicitamente é 'z é real e z > 0'. > (5) Por favor sugiram livros onde eu possa encontrar respostas para este tipo > de perguntas. Embora eu tenha estudado números complexos e trabalhado com > eles - sou engenheiro eletrônico - não me lembro de ter sido exposto às > definições e conceitos acima. O Morgado já indicou dois livros excelentes, o Churchill e o Ahlfors (Complex Analysis). Um livro diferente que talvez interesse é o Henrici, Applied and Computational Complex Analysis (3 vols). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================