Na verdade isso é muito mais geral. Se raiz n-ésima de a^m (a natural) não é inteiro, então deve ser irracional. É fácil provar isso, se vc sabe um critério para achar raízes racionais de equações com coeficientes inteiros. LEMA: Dada a equação A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na forma irredutível) é raiz, então p divide A(0) e q divide A(n). Prova: Substitua p/q na equação. Então A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1) +...+A(0)q^(n-1)] e como p e q não tem fatores em comum, segue que todos os fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0).
Então considere a equação x^n - a^m=0. Temos que raiz n-ésima de a^m é raiz. Então, pelo lema, se é racional (p/q), teríamos p | a^m e q | 1, logo p/q é inteiro, o que é uma contradição, já que estamos supondo que não é inteiro. Logo raiz n-ésima de a^m (a natural ), se não é inteiro, é irracional. Abraços, Villard -----Mensagem original----- De: Cláudio (Prática) <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Terça-feira, 17 de Dezembro de 2002 18:04 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7 >A demonstração segue a mesma lógica: > >7^(1/3) = m/n com mdc(m,n) = 1 >7 = (m^3) / (n^3) >m^3 = 7 * (n^3) >m^3 é múltiplo de 7 >m é múltiplo de 7 >m^3 é múltiplo de 7^3 = 343 >m^3 = 343 * k > >Mas, neste caso, 343 * k = 7 * (n^3) (ambos são iguais a m^3), ou seja: >7 * (7*k) = n^3 >n^3 é múltiplo de 7 >n é múltiplo de 7 ==> contradição, pois 7 divide m e mdc(m,n) = 1 > >Na verdade, o mesmo tipo de demonstração se aplica com qualquer número primo >(não apenas o 7) e qualquer expoente (não apenas o 3). > >O ponto crucial é a inferência m^3 é múltiplo de 7 ==> m é múltiplo de 7, >que só é verdadeira porque 7 é primo. > >Um abraço, >Claudio Buffara. > >----- Original Message ----- >From: "JOÃO CARLOS PAREDE" <[EMAIL PROTECTED]> >To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Tuesday, December 17, 2002 4:27 PM >Subject: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7 > > >Em livros sobre conjuntos numéricos, eles quase sempre >apresentam uma prova por absurdo da irracionalidade da >raiz quadrada de 2: > >sqrt(2)=p/q, sendo mdc(p,q)=1 >2=(p*p)/(q*q) >2*q*q=p*p >Com isto p é par. >Analogamente se prova que q é par, caindo no absurdo. > >Mas, por exemplo, com raiz cúbica de 7, como faço? > >===== > > JOÃO CARLOS PAREDE > > >_______________________________________________________________________ >Busca Yahoo! >O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet >http://br.busca.yahoo.com/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================