colegas desta lista ... OBM-L,
Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais
atento.
A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com notacao
semelhante. E necessario corrigir apenas :
1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
haver mais de um !
A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
homogeneas.
A generalizacao do Conway e a seguinte :
Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am subconjuntos
proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202
From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega
a uma contradição:
Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P
, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
pertencentes a "C").
Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a uma
mesma reta.
Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor
possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
pontos estarão de um mesmo lado de P1.
Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1
(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q
em relação a P1.
Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor
do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha
inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Curiosidade: Existe também o resultado dual:
Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por um
mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
exatamente duas retas.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
Santa Rita,
Não nos mate de curiosidade.
Qual a demonstração de Conway?
E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
necessariamente breve - também a de Kelly.
JF
PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde está
"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
pontos..."
JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do
"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
> Ola Pessoal,
>
> Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a
(...)
>
> Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
>
> Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao estejam
em
> uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles.
>
> OU SEJA :
>
> Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que
que
> toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
>
> A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar
n'O
> LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha
beleza
> !
>
> Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer
algo
> melhor.
>
> Um Grande Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 4,1651,251202
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