On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: > > > 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas > > no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 > > esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as > > esferas. > > "Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado; > aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma > das soluções publicadas considerou esta questão." > > Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única. > Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes, > E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio, > conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos > fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os > 3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única.
Acho que você tem razão... > Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem > pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos > têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei > ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices > (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2), > (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2). > > Os oito cubos são > ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R > (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções) > ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) > ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) > ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) > ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) > ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R]) > ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R]) > ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R]) > ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R > ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R ...mas aqui há um erro besta, são 10 e não 8... > > Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas. > Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado > (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito > que não. ... e nesta outra parte eu me enganei na suspeita. Existem outros cubos sim. Uma forma de construir um tal cubo é tomar planos da forma x+y+z = const. para serem um par de faces paralelas... preciso pensar um pouco mais para decidir quantos e quais cubos serve. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================