Olá, estive viajando e por tanto só estou lendo suas mensagens em 2003! (...) até aqui parece tudo bem...
> Seja X um elemento de @n com k elementos ( 1 <= k <= n ). > > No que se segue, vamos escrever X da seguinte forma: > X = { A(1) , A(2) , ... , A(k) } > e supor sempre que A(1) < A(2) < ... < A(k). > > Assim, X* = ( n+1-A(k) , n+1-A(k-1) , ... , n+1-A(1) } > e n+1-A(k) < n+1-A(k-1) < ... < n+1-A(1) > > Consideremos, separadamente, os casos: k par e k ímpar > > CASO 1: k é par => k = 2r. > X = X* ==> > A(2r) = n+1-A(1) , > A(2r-1) = n+1-A(2) , > ... > A(r+1) = n+1-A(r) ==> > X = X* = { A(1) , ... , A(r) , n+1-A(r) , ... , n+1-A(1) } > > Assim, M(X) = M(X*) = r(n+1)/k = (n+1)/2 = m. > > Ou seja, todo X que é igual a X* tem média inteira. > > Repare que A(1) < A(2) < ... < A(r) < n+1-A(r), ou seja: > A(1) < A(2) < ... < A(r) < (n+1)/2 = m. > > Desta forma, o número de elementos X de @n com k=2r elementos tais que X = > X* é igual ao número de subconjuntos de r elementos do conjunto {1, 2, ..., > m-1}, ou seja, C(m-1,r). a demonstração aqui precisa ser nas duas direções, troque => por <=>! a mesma coisa para a próxima... > Por conseguinte, o número total de elementos de X de @n é obtido pela soma > destes valores desde k = 1 até k = m-1, ou seja, este número é igual a: > C(m-1,1) + C(m-1,2) + ... + C(m-1,m-1) = 2^(m-1) - 1. > > CASO 2: k é ímpar => k = 2r-1. > X = X* ==> > A(2r-1) = n+1-A(1) , > A(2r-2) = n+1-A(2) , > ... > A( r+1) = n+1-A(r-1) , > A(r) = n+1-A(r) ==> > A(r) = (n+1)/2 = m e > X = X* = { A(1) , .. , A(r-1) , A(r) = m , n+1-A(r-1) , ... , n+1-A(1) } > > M(X) = M(X*) = [m + (r-1)(n+1)] / k = [m + (r-1)2m]/(2r-1) = > = m(2r-1)/(2r-1) = m > (...) > Espero que não haja nenhum furo desta vez. Assim esperamos! > Ainda permanece o problema de se determinar uma expressão para P(n) em > função de n, ou pelo menos, em função de P(m) com m < n. Além disso, este > problema pode ter alguma relação com o seguinte: determinar P(n) deve ser bem complicado, eu acho que pode ser utilizada a idéia da minha mensagem anterior, decompor P(n+1) = P(n) + T(n). > Seja a sequência X: N --> N (N = conjunto dos inteiros positivos), definida > por: > X(1) = 1, e, para n >=1, X(n+1) = menor inteiro positivo tal que: > (i) X(n+1) não pertence a { X(1) , X(2) , ... , X(n) }, e > (ii) o conjunto { X(1), ..., X(n), X(n+1) } tem média inteira. > Prove que X é uma bijeção. > > Um abraço, > Claudio Buffara. Que tal colocar essa problema como uma nova postagem? Assim mais pessoas acompanhariam... Gostei, parece que funciona, mas é mais complicada e extensa do que eu imaginava (e desejava!). Uma pena, no entanto, que a minha idéia não tenha podido ser melhor explorada (se é que dela pode-se sair em algum resultado), parecia uma alternativa bem elegante... [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================