colegas desta lista ... OBM-L,
1) Caro Robson. Se voce nao sabe, logo vai ficar sabendo ( quando comecar a estudar Analise ) que esta serie e um tipico representante do que se chama uma SERIE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE.
Existe um Teorema ( de Riemann ) de Analise que afirma que um reordenamente dos termos destas series pode faze-la divergir OU convergir ( convergir para UM NUMERO REAL QUALQUER, dado ). Claramente que este Teorema fala pouco ...
Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge. Converge pra onde ? Isso vai depender da PA. No seu caso :
1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2)
Outro caso bem conhecido e :
S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4
E uma relacao bem conhecida e que :
1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2).
A serie acima e o valor da funcao zeta em 2.
Note que a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que
1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que :
A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ...
Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o Teorema de Leibniz a que me referi acima.
Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2 fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que ( K e S dados ) :
1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i
2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S.
A serie abaixo converge para que numero real ? :
A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ...
Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema resolvido apenas parcialmente pelo Euler.
2) Problema tipico de Introducao a Analise, que esta em todo livro desta categoria. Todo mundo mundo que estudou Analise fez este ou outro muito parecido. O enunciado esta um pouco confuso, mas sai assim : Suponha inf B < sup A. Moste que isto conduz a um absurdo.
Logo sup A =< inf B
Voce aqui estara usando o AXIOMA DO SUPREMO, tambem conhecido como AXIOMA DO COMPLETAMENTO : Todo conjunto de numeros reais limitado superiormente admite um supremo.
Deste axioma voce DEDUZ a existencia do infimo, vale dizer, postular o axioma do supremo implica no "TEOREMA DO INFIMO". Mas nao existe nenhum razao forte para esta preferencia ...
Voce pode postular um AXIOMA DO INFIMO e deduzir o "TEOREMA DO SUPREMO" ( basta multiplicar por -1 e fazer um raciocinio bobo cheio de implicacoes obvias ). Um corpo ordenado no qual vale este axioma e um CORPO ORDENADO COMPLETO. Os numeros reais.
Ha autores que POSTULAM a existencia de um corpo ordenado completo, tais como o Prof Elon Lima ( Curso de Analise, Vol. 1). Todavia, historicamente, foi a percepcao do AXIOMA DO SUPREMO pelo Dedekin que permitiu CONSTRUIR um tal corpo, que alias pode ser construido por diversos outros caminhos ...
O fato de existir diversas construcoes de tais corpos ( ordenados e completos ) nao complica ... Dois de tais corpos sao necessariamente isomorfos, vale dizer, INDISTINGUIVEIS no que se refere aos axiomas que os definem.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1750,230103
----- Original Message -----
From: Robson Monteiro
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, January 14, 2003 5:23 PM
Subject: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!
Oi Pessoal estou com duas dúvidas(sobre quetões que >encontrei no livro do Elon Lages-Análise Real) e gostaria de saber se >alguém pode me ajudar:
1º) Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ...
2º) Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x >Pertence a A e y pertence a B, com (x<=y). Prove que supA<=infB. Prove >que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon>0 dado, podem-se >obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon
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