[obm-l] Quadrados em um Quadriculado.

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal !

O problema abaixo e uma generalização de uma questão que foi proposta em outra lista, algum tempo atras. Não e de solução imediata, mas não e dificil.

PROBLEMA : Divide-se cada lado de um quadrado em N partes iguais. Pelos pontos de divisão tracam-se paralelas aos lados do quadrado, originando assim um quadriculado.

1) Com vertices nos pontos deste quadriculado, quantos quadrados podem ser construidos ( em funcao de N ) ?
2) Seja Q(N) o numero de quadrados. Para todo P natural dado diga se existe um natural N tal que Q(N) = 10^P.

OBS1 : Note que para responder 2 voce precisa responder 1 atraves de uma funcao que seja "manipulavel".

OBS2 : considerar neste calculo tambem os quadrados "inclinados" em relação ao quadrado original.

UMA SUGESTAO : Supondo que o quadrado original tem lado medindo N, seja Q o conjunto de todos os quadrados construtiveis cujos lados sejam paralelos aos lados do quadrado original e cujos lados tem a mesma medida L, L =< N. Em qualquer um destes quadrados a quantidade de quadrados inscritos e cujos lados nao paralelos aos lados do quadrado original e constante ... Manipule com habilidade as expressoes que vao surgir que elas se reduzirao a um polinomio bem simples. Isto responde ao item 1 e da condicoes de encarar o intem 2. Para responder 2 basta aplicar o que voce sabe sobre raizes racionais de equacoes polinomiais inteiras.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
4,1652,290103






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