colegas desta lista ... OBM-L,
A Resposta esta correta. Eu nao acompanhei todos os seus argumentos, tanto por falta de tempo quanto porque ha outras formas mais diretas de resolve-lo.
Eu bolei esta questao especificamente para a OBM, nivel medio. Nao sei porque a banca nao aceitou propo-la. Nao e uma questao dificil, exige apenas um "insight" para o item 1 e, no item 2, exige conhecimentos bem divulgados.
Segue abaixo uma questao questao que eu propus para o pessoal da OBM de nivel 2 ( setima/oitava series do 1 grau ) :
Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor minimo que A pode ter ?
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1243,040203
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Subject: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2
Date: Tue, 4 Feb 2003 12:02:33 -0200
Caro Paulo:
A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros "p", para os
quais existe um inteiro positivo "n" tal que:
n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p ==>
n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p
No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 <==> n = 1. Será que eu
errei em algum lugar?
E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4):
CASO 1: n é ímpar
n é ímpar ==> n+1 é par e n+2 é ímpar.
Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y e n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y)
com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p
(n+1)^2 é quadrado ==> p+2 é par, x = 0 e y é par
p+2 é par ==> p é par ==> p = 2q
y é par ==> y = 2z ==> p-y = 2q-2z
Assim: n+1 = 2^(q+1) * 5^z e n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z)
Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1:
Sub-caso 1: 5 | n+1
5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> z = q ==>
n+1 = 2^(q+1) * 5^q e n*(n+2) = 3 ==> n = 1 ==> q = 0 ==> p = 0
Sub-caso 2: 5 não | n+1
5 não | n+1 ==> (5,n+1) = 1 ==> z = 0 ==>
n+1 = 2^(q+1) e n*(n+2) = 3 * 5^(2q) ==>
n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1 ==> n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 *
^(2q) - 1 ==>
3 * 5^(2q) = 4 * 2^(2q) - 1 ==> 4 * 2^(2q) - 3 * 5^(2q) = 1 ==> q =
0 ==>
n+1 = 2 e n*(n+2) = 3 ==> n = 1 ==> p = 0
CASO 2: n = 0 (mod 4)
n = 0 (mod 4) ==> n+1 é ímpar e n+2 = 2 (mod 4) ==>
(n+1)^2 = 3^x * 5^y e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y)
com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p
(n+1)^2 é quadrado ==> x = 0 e y = 2z ==>
n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z)
Sub-Caso 1: 5 | n+1
5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3
Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n
3 | n ==> (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2^(p+1) * 3 e n+2 = 2 ==> XXX
Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n
3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2^(p+1) e n+2 = 2*3 = 6 ==> Q(n) = 196 <>
10^p ==> XXX
Sub-Caso 2: 5 não | n+1
5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX
CASO 3: n = 2 (mod 4)
n = 2 (mod 4) ==> n+1 é ímpar e n+2 = 0 (mod 4) ==>
(n+1)^2 = 3^x * 5^y e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y)
com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p
(n+1)^2 é quadrado ==> x = 0 e y = 2z ==>
n+1 = 5^z e n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z)
Sub-Caso 1: 5 | n+1
5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3
Sub-Caso 1.1: 5 | n+1 e 3 | n
3 | n ==> (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2*3 = 6 ==> Q(n) = 196 <> 10^p
==> XXX
Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n
3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2 ==> Q(n) = 6 <> 10^p ==> XXX
Sub-Caso 2: 5 não | n+1
5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX
**************
Um abraço,
Claudio.
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