colegas desta lista ... OBM-L,
O que importa e a ideia ... Como se pode observar abaixo, o unico conhecimento realmente necessario e saber - como sabem todos os bons alunos da 7 serie - que NUM TRIANGULO NAO OBTUSANGULO O QUADRADO DE QUALQUER LADO E, NO MAXIMO, IGUAL A SOMA DOS QUADRADOS DOS OUTROS DOIS LADOS.
Alem disso, so e necessario ter a coragem de pensar e errar tantas vezes quantas forem necessarias ate esclarecer o enigma. Nunca e vergonhoso errar, quando estamos tentamos acertar. Claramente que so nao erram Deus e os Imbecis. Como diria Schiller : "Oh discipulo covarde ! Rompe a inercia e a sonolencia e engolfa-te brioso no arrebol que anteves !"
A questao seguinte foi proposta pelo *Conway em outra lista :
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N > 1, os numeros f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N)))), ... sao dois a dois primos entre si.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1752,040203
*Ou foi pelo Conway ou foi pelo Katz. Nao me lembro ao certo.
From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Truângulos não-obtusângulos
Date: Tue, 4 Feb 2003 17:10:04 -0200
Caro Paulo:
Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia inicial
é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final...
Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que
quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao
obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de
todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e
escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor
minimo que A pode ter ?
Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados:
a1 < a2 < ... < a100.
O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo ==> todos os outros
triângulos são não-obtusângulos e, além disso:
a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) <= a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) =
a1^2 + a1^2 ==>
a100 <= a1*raiz(2)
A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso implica
que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N tal
que N+99 <= N*raiz(2) ==>
(N+99)^2 <= 2*N^2 ==>
N^2 - 198*N - 9801 >= 0 ==>
N >= 99 + 99*raiz(2) ==> N = 240
Assim, X = {240, 241, ..., 339 } ==>
S = soma dos elementos de X = 28.950.
Sejam:
E = soma dos perímetros dos equiláteros
I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros
C = soma dos perímetros dos escalenos
Então:
E = 3*S = 86.850
I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150
C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450
Logo, A >= E + I + C = 149.121.450
Um abraço,
Claudio.
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