Oi Claudio,
Seja I=[a,b] e z em I. Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em IxI da seguinte forma: Se x<>y, nao ha problema. Se x=y, G(x,x)=f'(x). Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel, G(x,x)=f'(x) e G(x,y)=G(y,x). Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}. Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que: 1) G(x0,y0)<f'(z)<G(x1,y1). 2) x0>y0 e x1>y1. Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal. Abraco, Salvador On Wed, 5 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote: > Caro Artur: > > Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos "se > e somente se") eu me deparei com uma dúvida: > > Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. > É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: > f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? > Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM > Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável > > > Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que > acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito > difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é > uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0, > existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então > |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com > continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um > mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo. > > Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente > se, f' for uniformemente contínua em I. > > Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for > diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f > satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f > satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal > que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I. > > Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f > satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua > em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um > contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. > > Abraços. > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================