Ops!! Sorry! Parece que entendi o problema de forma errada... Estava fazendo 3 conjuntos de M elementos, e não M conjuntos de 3 elementos, como pedia o problema.... Neste caso, temos o seguinte:
A soma total dos elementos do conjunto é 3M *(3M+1)/2. Como os conjuntos de 3 elementos deve ter soma igual, esta soma deverá ser de 3M*(3M+1)/2/M => Soma = (9M + 1)/2. Já é possível concluir que M é obrigatoriamente ímpar. Agora, podemos considerar a seqüência com a seguinte nomenclatura: a(1,-n), a(1,-n+1), ... a(1,0), ... a(1,n) a(2,-n), a(2,-n+1), ... a(2,0), ... a(2,n) a(3,-n), a(3,-n+1), ... a(3,0), ... a(3,n) Com n de -(m-1)/2 a (m-1)/2 Onde a(i,j) = j+(M-1)/2 + M*(i-1) + 1 Se considerarmos que, em cada subconjunto válido, teremos um elemento de cada linha, temos a(i1,1) + a(i2,2) + a(i3,3) = (9M+1)/2 = j1 + j2 + j3 + 3*(M-1)/2 + M*((1-1) + (2-1) + (3-1)) + 3 Resumindo, temos que j1 + j2 + j3 = 0. Exemplo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 fica: -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 Os conjuntos podem ser:(-2, 1, 1) (-1,-1, 2) ( 0, 2,-2) ( 1, 0,-1) ( 2,-2, 0) Traduzindo: ( 1, 9,14) ( 2, 7,15) ( 3,10,11) ( 4, 8,12) ( 5, 6,13) Ou seja, temos que provar que, sejam S1, S2, S3 conjuntos idênticos = (-n...,0,1,2,...n) Devemos formar 2n+1 trios (um elemento de cada conjunto), tais que a soma do trio seja zero. Acho que vale para qualquer n, mas preciso pensar mais um pouco... -----Original Message----- From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Thursday, February 20, 2003 1:23 PM To: '[EMAIL PROTECTED]' Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Partição "2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante." A Questão é... Como distribuir os elementos? Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos.... n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a soma seja 2n-1: (n-2) e (n+3) (n-1) e (n+2) (n) e (n+1). Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a 12... 3M-6 a 3M), pelo método acima. E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9) em 3 grupos de soma igual: 1,5,9 = 15 2,6,7 = 15 3,4,8 = 15 Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a 2001) Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo: 3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. -----Original Message----- From: Cláudio (Prática) [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Partição Caros colegas da lista: Estou embananado com este aqui: 1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003. 2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ..., 3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é constante. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================