Nao ha erro. Claramente que se a-r,a,a+r (uma PA)e uma PG entao
a^2=(a-r)(a+r) => r=0, isto e, uma PA so e PG se os termos forem constantes.
No enunciado abaixo, onde se le PA, leia-se Propriedade Aritmetica :
An+1=An + An-1. Procura-se uma sequencia A1, A2, ... que tenha apropriedade aritmetica e que tambem seja uma Progressao Geometrica. Com o numero fi existem duas sequencias assim.
A serie : 1, fi, 1+fi, 1+2fi, 2+3fi, 3+5fi,5+8fi, ... e chamada SEQUENCIA AUREA. Aqui, fi=(1+raiz_2(5))/2.
Considere agora 1, fi, fi^2, fi^3, ...
Um Abraco
Paulo Santa rita
6,1012,210203
Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1005,210203
From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] O numero fi
Date: Thu, 20 Feb 2003 17:31:13 -0300
Caro Paulo:
Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do
Problema 1.
> PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia
de
> numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente
uma
> PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe
> outra(s) ?
>
Seja A(0) = A
Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com:
D > 0
e
Q > 1 se A > 0 ou 0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1).
n = 1: A(1) = A + D = A*Q
n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2
(1) ==> D = A*(Q - 1)
(2) - (1) ==> D = A*Q*(Q-1) ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1)
A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==>
Q-1 = Q*(Q-1)
Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição
Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que
formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes.
*************
> PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de
fibonaci.
> Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ?
>
O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem
conhecida e dada por:
A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n]
onde U = (1+raiz(5))/2
(A(1) = A(2) = 1)
Assim,
A(n)/A(n-1) =
[U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] =
[U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)]
Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2
************
Um abraço,
Claudio.
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