Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Salvo melhor juizo, estas duvidas se situam na regiao limitrofe entre Ciencia e a Filosofia, sendo natural portanto nao haver um acordo irretorquivel sobre elas ... Se num "espaco" qualquer de seus objetos puder ser univocamente caracterizado por N outros, dizemos que trata-se de um espaco N-dimensional.
E notorio que uma tal DEFINICAO pode ser vista como uma depuracao daquilo que o senso comum percebe e entende como "dimensao". Evidentemente que uma tal definicao so e interessante porque podemos OPERAR com ela, retirando implicacoes intrinsecamente consistentes e que podem ser aplicadas no mundo, "la fora".
A Teoria das Strings ( que eu nao gosto ! ) permite interpretacoes na qual o mundo pode ter mais de 4 dimensoes, mas sao muito mais postulacoes e nao um conhecimento consolidade por inumeras experiencias, como no caso da teoria da relatividade. Independente de tudo isso, ninguem vai encontrar dimensoes procurando "la fora" ... E a necessidade de coerencia e simplicidade internas que vao nos levar a "ver" estas novas dimensoes, se e que elas existem. Einstein foi muito feliz quando falou sobre isso : "Nao existe nenhum caminho logico que leva a compreensao das leis elementares. O unico caminho e o da intuicao." Vale dizer, nao adianta voce fazer experiencias ou tentar fazer deducoes logicas, voce precisa "sentir" ( nao pensar, nao raciocinar ) como as coisas devem ser e so assim voce vai entender o sentido profundo de cada coisa.
A esse respeito ( de sentir pra depois exprimir ) Gauss falou o seguinte : "Durante este outono, ocupei-me largamente com as consideracoes gerais das superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas ligam-se fortemente a outras e sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, O VERDADEIRO SENTIDO da raiz quadrada de MENOS UM, mas creio que sera extraordinariamente dificil expressar este sentido em palavras."
NOTA : traducao minha.
Existem Matematicos que pensam, raciocinam, depois escrevem. Gauss - e uns poucos outros - primeiro SENTEM, depois raciocinam, por fim escrevem.
Em sintese, a dimensao e um conceito util. Mas nao esta nas coisas, mas na forma como vemos as coisas.
2)interpretando (a,b) como um ponto, ha uma imersao isomorfa de "a" em (a,0), o que nos permite dizer que em termos estruturais (a,0) e "a"
sao indistinguiveis ( que e o que queremos dizer quando falamos em um isomorfismo ). Dai decorre ( com o produto bem conhecido ) que (0,1) multiplicado por (0,1) da (-1,0), isto e, x=(0,1) e x^2 = -1. Por isso dizemos que (0,1)=i, pois o comportamenteo de (0,1) satisfaz todas as experiencias historicas que os matematicos ja haviam feito com o "i".
Note que aqui NAO HA DEMONSTRACAO ... Simplesmente criamos um cnjunto numerico e MOSTRAMOS que ele tem UM NUMERO cujo quadrado e -1. Evidentemente que a formalizacao dos numeros complexos tinha este objetivo de maior harmonia. E isso acontece muito ... Boa parte do trabalho Matematico e motivado para dar maior coerencia interna as partes desta ciencia. Entao, constroi-se objetos ou estruturas, amplia-se conceitos etc, de forma que fatos MAL AJUSTADOS e nao tao bem entendidos possam se harmonizar e fornecer uma compreensao mais universal e coerente das coisas ... A formalizacao dos complexos e um exemplo. Outros exemplos classicos podem ser a admissao das geometrias nao-euclidians em pe de igualdade com a euclidiana e a aceitacao dos quaternios.
3) Sim. Cotidiano : Aplique um capital a juros e capitalize a taxa instantaneamente. Voce vai chegar ao numero "e". Foi assim que Bernoulli apresentou este numero ... Nao existe uma definicao preferencial de um numero ... pi pode ser definido como a razao entre a circunferencia e seu diamentro ou como o limite da serie que voce cita ou como um dos produtos de Wallis, etc, etc. nenhuma destas definicoes e melhor que outra : pode apenas ser mais conveniente em uma determinada aplicacao que fazemos. E digno de nota que Euclides provou ( e Arquimedes tambem ) que todos os circulos sao figuras semelhantes, vale dizer, a razao entre a circunferencia e seu diamentro e constante e independente da grandeza da figura.
A existencia de QUALQUER NUMERO REAL e pressuposta quando apresentamos estes numeros como um corpo ordenado completo. Todavia, tais numeros podem ser construidos a partir da teoria dos conjuntos. SE voce acha que construir algo e uma prova da existencia dele entao, neste ultimo caso, a existencia e provado com a construcao. Leia o Livro : Teoria ingenua dos conjuntos, do Paul Halmos. La vce vai ver como se "constroi" os numeros.
Demonstracao e um ASPECTO DA MATEMATICA. Nao e A MATEMATICA. A Matematica e a ciencia dos fenomenos que percebemos tao somente com o nosso intelecto. E em toda ciencia, nos primeiro percebemos as coisas, depois fazemos experiencias para confirmar nossas percepcoes e so depois, lentamente, avancamos para o campo das hipoteses relativas a explicacao dos fenomenos, isto e, avancamos ate as demonstracoes.
Primeiro voce sente, depois voce pensa ... A emocao precede a razao e o raciocinio. Qualquer pessoa que for sincer consigo mesmo e com os outros vai admitir que nunca descobre as coisas tal como apresenta em sua demonstracoes. Existe "algo" que precede a demonstracao e que nao e o pensar e nao o raciocinar. E o sentir, a intuicao, a inspiracao, a a forma especial do intelecto ´perceber os fenomenos matematicos !
Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1734,250203
From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia Date: Tue, 25 Feb 2003 11:30:15 -0300
Tenho três dúvidas, vejam:
1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso?
Para 4 ou mais dimensões, o mais simples é usar n-uplas ordenadas de números reais para representar pontos no espaço n-dimensional.
Assim, um hiper-cubo de 4 dimensões e aresta = 2 teria por vértices os 16 pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1).
Na natureza eu não conheço nenhum exemplo além do espaço-tempo de 4 dimensões (uma delas é o tempo) no qual nós vivemos - vide qualquer livro sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o universo tem na verdade 10 ou 26 dimensões, mas as 6 ou 22 restantes estão tão "curled up" (enroladinhas) que nós não conseguimos percebê-las.
2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) do número imaginário "i". A única coisa que me lembro, foi que a demonstração foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação com o ponto P (-1,0). Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte histórica do número "i" e dos números complexos, mas vocês não falaram nada de demonstrações. A única coisa mais próxima disso foi quando disseram que o número "i" surgiu quando os matemáticos procuraram resolver a equação raiz (-1) = ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto histórico do nº imaginário e complexo e não uma explicação matemática e "real"(real no sentido não matemático).
Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matemática do Elon Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da relação entre nos. complexos, logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas.
A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos são os seguintes:
1) Além de se somarem como vetores, os complexos têm uma multiplicação com uma interpretação geométrica muito clara, que envolve dilatação/contração e rotação.
2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polinômio de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas raízes. No entanto, descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer polinômio de grau n >= 1 e com coeficientes complexos tivesse n raízes. Esse resultado é o Teorema Fundamental da Álgebra.
3) A extensão dos métodos do cálculo para o domínio dos complexos revelou propriedades surpreendentes que não existem no domínio real. Isso tem a ver com o fato de que a existência da derivada de uma função complexa é uma condição muito mais forte do que a existência da derivada de uma função real.
3ª) Uma outra dúvida sobre demosntrações:
Se algum leigo em matemática pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para provar a existência do número Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para medir o comprimento de qualquer circunferência com uma fita métrica e então dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele não soubesse o que era raio era só explicar). Agora pergunto:
É possível fazer uma demonstração semelhante (em termos de relação com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ?
Medir uma circunferência com uma fita métrica não prova a existência de Pi. No máximo dá uma aproximação para o seu valor real.
Pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante.
A existência de Pi, e, ou de qualquer número real é uma consequência do do fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o único) corpo ordenado completo.
Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o número real tal que:
e
INTEGRAL dx/x = 1.
1
Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa integral converge para um número real, que se convencionou chamar de "e" (acho que foi Euler que deu este nome).
Além disso, pode-se provar que "e" também é o limite das sequências:
An = (1 + 1/n)^n
ou
Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!.
Um abraço, Claudio.
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