suponha que 2^m e 2^n são números com os dígitos rearranjados, sem perda de generalidade, assuma 2^m < 2^n, é evidente que n = m+1, m+2 ou m+3, pois para m+4 o número 2^n tem necessariamente pelo menos um dígito a mais que 2^m!
se os dígitos são os mesmos, é fácil verificar que a congruência deles módulo 3 é igual 2^m = 2^(m+1) (mod 3), como 3 é primo, isso vale <=> 2 = 1 (mod 3) absurdo 2^m = 2^(m+3) (mod 3), 8 = 1 (mod 3), absurdo 2^m = 2^(m+2) (mod 3), 4 = 1 (mod 3), ok considere agora a congruência mod 9: 2^m = 2^(m+2) (mod 9), seja m = 6k + s (com 0 <= s < 5) 2^(6k).2^s = 2^(6k).2^(s+2) mas 2^6 = 1 mod 9, podemos então eliminar o fator 2^(6k) de ambos os lados 2^s = 2^(s+2) (mod 9), para s = 0, 1, 2, 3, 4 essa igualdade não vale e logo chegamos a conclusão que não é possível ter dois inteiros da forma pedida. [ ]'s > Caro Edilon e demais colegas da lista: > > No primeiro problema eu fiz o seguinte: > > Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros positivos m e n, > com m < n tais que 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos. > > Então, pelo critério de divisibilidade por 9, teremos: > 2^n = 2^m (mod 9) ==> > 2^(n-m) = 1 (mod 9) ==> > n - m é múltiplo de 6 = ordem de 2 mod 9 ==> > n >= m + 6 ==> > 2^n >= 64*2^m ==> > 2^n tem mais dígitos do que 2^m > > Mas, por hipótese, 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos (em ordens diferentes) > ==> > 2^n e 2^m têm o mesmo número de dígitos ==> > contradição ==> > a resposta é não > > No entanto, essa solução não é válida se a representação decimal de 2^n > tiver dígitos iguais a zero, pois nesse caso, pode ser que os zeros venham > para a esquerda (tornando-se não significativos) na representação de 2^m. > > Minha pergunta: Como salvar este argumento e resolver o problema? > > Um abraço, > Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================