----- Original Message ----- From: "m.ofl" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, March 23, 2003 11:59 AM Subject: [obm-l] congruencias
> quais podem ser os valores de n para (5 elevado a n) + > (n elevado a 5) para que esta soma seja divisivel por 13 > 5^n + n^5 = 0 (mod 13) ==> n^5 = - 5^n (mod 13) Mod 13, teremos: 5^1 = 5 5^2 = -1 5^3 = -5 5^4 = 1 ==> 5^(4k) = 1 5^(4k+1) = 5 5^(4k+2) = -1 5^(4k+3) = -5 Por outro lado (ainda mod 13) n = 0 ==> n^5 = 0 n = 1 ==> n^5 = 1 n = 2 ==> n^5 = 6 n = 3 ==> n^5 = -4 n = 4 ==> n^5 = -3 n = 5 ==> n^5 = 5 n = 6 ==> n^5 = 2 n = -6 ==> n^5 = -2 n = -5 ==> n^5 = -5 n = -4 ==> n^5 = 3 n = -3 ==> n^5 = 4 n = -2 ==> n^5 = -6 n = -1 ==> n^5 = -1 Como -5^n só pode ser igual a 1, 5 , -1 e -5 (mod 13), temos que os únicos valores admissíveis de n serão: 1, 5, -1 e -5 (mod 13) n = 1 (mod 13); n^5 = 1 ==> 5^n = -1 ==> n = 4k+2 ==> n = 2 (mod 4) n = -1 (mod 13): n^5 = -1 ==> 5^n = 1 ==> n = 4k ==> n = 0 (mod 4) n = 5 (mod 13): n^5 = 5 ==> 5^n = -5 ==> n = 4k+3 ==> n = 3 (mod 4) n = -5 (mod 13): n^5 = -5 ==> 5^n = 5 ==> n = 4k+1 ==> n = 1 (mod 4) Agora, resta-nos resolver estes 4 sistemas de congruências, o que pode ser feito usando-se o Teorema Chinês dos Restos, uma vez que mdc(4,13) = 1: n = a (mod 13) n = b (mod 4) ==> n = -12a + 13b (mod 52) a = 1, b = 2 ==> n = 14 (mod 52) a = -1, b = 0 ==> n = 12 (mod 52) a = 5, b = 3 ==> n = -21 = 31 (mod 52) a = -5, b = 1 ==> n = 73 = 21 (mod 52) Assim, a congruência n^5 + 5^n = 0 (mod 13) terá solução para: n = 12, 14, 21 e 31 (mod 52) Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
