5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a Cledmilson Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças. Da mesma forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendo que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmente entre as p crianças. De quantas maneiras podemos escolher um grupo de crianças desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada tipo de doce roubada seja inteira?[6]
Acho que encontrei a solução. De qualquer jeito, gostaria de comentários, especialmente se a solução estiver errada. Se as linhas escolhidas forem i_1, ..., i_r e as colunas j_1, ..., j_s, então as quantidades serão: (i_1 + ... + i_r)/p kg de doce de jiló e (j_1 + ... + j_s)/p kg de doce de jaca. O peso total de cada doce será inteiro se e somente se {i_1, ..., i_r} e {j_1, ..., j_s} forem subconjuntos de {1, 2, ..., p} cujas somas dos elementos sejam = 0 (mod p). Dessa forma, o problema pode ser refraseado como: Determinar o número de subconjuntos de {1, 2, ..., p}x{1, 2, ...,p} cuja soma dos elementos (definida da forma usual: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ) seja um par ordenado da forma (mp,np) onde m e n são inteiros. Assim, se M = número de subconjuntos de {1,2,...,p} que tenham a soma de seus elementos = 0 (mod p), então o número desejado será igual a M^2. Inicialmente, vamos determinar o valor de M. Consideremos os subconjuntos de {1,2,...,p}com n elementos ( 1 <= n <= p ). Seja f(n) = número de tais subconjuntos cuja soma seja = 0 (mod p) Então: M = f(1) + f(2) = ... = f(p-1) + f(p) Se n = p, então o único subconjunto com soma = 0 (mod p) será {1,2,...,p} ==> f(p) = 1 Consideremos agora o caso 1 <= n <= p-1. Tomemos um subconjunto de n elementos {a(1),...,a(n)} com soma = 0 (mod p). Para 1 <= k <= p-1, se somarmos k a cada um dos a(i), teremos que: a(1) + ... + a(n) = kn (mod p) Como p é primo e n < p, os números 0, n, 2n, ..., (p-1)n formarão um sistema completo de restos (mod p). Assim, para cada k ( 1 <= k <= p-1) e a cada subconjunto {a(1), ...,a(n)}com soma = 0 (mod p), podemos fazer corresponder exatamente um conjunto cuja soma é = k (mod p). Logo, o número de subconjuntos de n elementos cuja soma é = k (mod p), será o mesmo para cada k (0 <= k <= p-1) Como o número total de subconjuntos de n elementos de {1, 2, ..., p} é C(p,n), teremos que f(n) = C(p,n)/p. M = f(1) + f(2) + ... + f(p-1) + f(p) = = C(p,1)/p + C(p,2)/p + ... + C(p,p-1)/p + 1 = = (2^p - 2)/p + 1 Logo, M^2 = [(2^p - 2)/p + 1]^2 Obs: Existe uma maneira de roubar um número inteiro de cada tipo de doce que não foi computada acima. Trata-se de não roubar doce nenhum (ou seja, roubar zero doces), o que corresponde ao subconjunto vazio de {1,...,p} x {1,...,p}. Se incluirmos essa maneira (e acho que devemos, pois é a única moral e legalmente aceitável), a resposta será: [(2^p - 2)/p + 1]^2 + 1. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================