> Caros colegas da lista: > Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas cujas > soluções nunca foram publicadas na lista.
[Artur Costa Steiner] Sobre, Topologia, para os que curtem, aqui vão algumas soluções: 5) Alguns de topologia geral: Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n se qualquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos de E (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontos de condensação de E. Mostre que 5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta automaticamente que E não é numerável sse P não for vazio) Sabemos que R^n possui uma base numerável, como, por exemplo, a coleção das bolas abertas de raios racionais e centros em elementos de coordenadas racionais. Seja B = {B_n} esta coleção. Para maior clareza, provaremos primeiro o item 5.2 5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação do mesmo (E inter complementar de P) é numerável. Definamos W como a união de todos os conjuntos básicos B_n cujas intercessões com E sejam numeráveis. Seja cP o complementar de P. Vamos mostrar que W = cP. Se x pertence a W, então x possui uma vizinhança básica B_n cuja intercessão com E é numerável. Da definição de ponto de condensação, segue-se que x não é um de tais pontos e que portanto, x pertence a cP. Se, por outro lado, x pertence a cP, então x possui uma vizinhança, logo uma vizinhança básica, cuja intercessão com E é numerável. Da definição de W, segue-se que x pertence a W. Concluimos assim que W está contido em cP e vice-versa. Logo W = cP. Desta conclusão, segue-se agora que E inter cP = E inter W = (E inter B_1) U (E inter B_2) U....(E inter B_n)..... Como cada (E inter B_n) é numerável, vemos que E inter cP é dado por uma união numerável de conjuntos numeráveis. Logo E inter cP é numerável, o que prova 5.2. Voltando-se a 5.1, observamos que E = (E inter P) U (E inter cP). Se P for vazio (isto é, se E não possuir pontos de condensação) então E = E inter cP, equação que, em virtude do que acabamos de ver, mostra-nos que E é numerável. Se, por outro lado, P não for vazio, então E possui um ponto de condensação x e qualquer vizinhança V de x é tal que V inter E não é numerável. Dado que V inter E é um subconjunto de E, segue-se que E não é numerável. Isto prova 5.1. Tomando-se as contrapositivas de tais conclusões, constatamos imediatamente que E não é numerável sse P não for vazio. 5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos de acumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto de condensação do mesmo. Vimos que cP = W é dado por uma união de conjuntos abertos. Logo, cP é aberto e P é fechado. Alternativamente, podemos chegar a esta mesma conclusão observando que, se x pertence a cP, então x possui uma vizinhança V cuja intercessão com E é numerável. Como V é vizinhança de todos os seus elementos, segue-se que igual condição vale para todo elemento de V, o que nos mostra que V está contida em cP. Todo elemento de cP é portanto ponto interior do mesmo, do que deduzimos que cP é aberto e P é fechado. Sejam agora p pertencente a P e V uma vizinhaça qualquer de p. Temos a seguinte equação: V inter E = (V inter E inter P) U (V inter E inter cP). Pela definição de ponto de condensação, V inter E não é numerável e, conforme já vimos, E inter cP é numerável. Logo, V inter E inter cP é numerável, pois é subconjunto de E inter cP. Para que a equação citada possa vigorar, temos então, necessariamente, que V inter E inter P não pode ser numerável. Como V é arbitrária, concluimos que p é ponto de condensação de E inter P e, consequentemente, do próprio P. E como todo ponto de condensação de um conjunto é, automaticamente, ponto de acumulação do mesmo, concluimos que todo elemento de P é ponto de acumulação do mesmo. Logo P é perfeito. OBS. Nesta demonstração admitimos que P não é vazio. Se P for vazio, então P é trivialmente perfeito. 5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P Conseqüência imediata da demonstração de 5.3. Como corolário, segue-se que, se P não for vazio, então E inter P não é numerável. Como outro corolário, temos que todo elemento de E inter P é ponto de condensação do mesmo. 5.5) O fecho de E inter P é o próprio P Se x pertence a fecho de E inter P, então então toda vizinhança V de x intercepta E inter P e, portanto, intercepta P. Logo, V contém um ponto de condensação de E, o que acarreta que V inter E não seja numerável. Segue-se que x é ponto de condensação de E e, face a isto, x pertence a P. Se, por outro lado, x pertence a P, então, conforme vimos, x é ponto de condensação de E inter P. É então imediato que x pertence ao fecho de E inter P. Isto prova 5.5 5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjunto perfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntos seja vazio). Este é o Teorema de Cantor-Bendixon. Suponhamos que E seja fechado. Temos que E = (E inter P) U (E inter cP). Conforme vimos, P é fechado, o que acarreta que E inter P também seja fechado. Nos corolários de 5.4 vimos que todo elemento de E inter P é ponto de condensação, e portanto de acumulação, do mesmo. Logo, E inter P é perfeito. Além disto, vimos também que E inter cP é numerável. E como E inter P e E inter cP são disjuntos, o teorema fica demonstrado Um abraço para todos Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================