Oi Artur. Vamos analisar o seguinte problema.
Seja M um espaço métrico qualquer que satisfaz a propriedade: se f:M->R é uma função contínua então é limitada. Vamos mostrar que M, mesmo que não seja de dimensão finita, é totalmente limitado, por contra-posição. Suponhamos que M não seja totalmente limitado. Existe um r>0 tal que não se pode cobrir M por finitas bolas fechadas de raio r. Podemos encontrar uma seqüência de bolas B[x_n, r] tal que x_n não pertence a nenhuma das bolas anteriores. Em outros termos, podemos escolher uma seqüência (x_n) em M tal que para todo n <> m temos d(x_n, x_m) > r. Agora vamos definir uma função f:M->R contínua que não é limitada. Definimos f(x) = inf{d(x,x_n) : n natural}. Precisamos mostrar que ela é contínua. A função pode ser definida também como f(x) = d(x, S) onde S = {x_n : n natural}. É um exercício clássico ver que f não só é contínua como também é Lipschitz. Portanto temos demonstrado o teorema, pois se M não é totalmente limitado existe uma função contínua f:M->R que não é limitada. Claramente esse resultado implica, com você observou, que se toda função f:M->R^n contínua é limitada, então M é totalmente limitado. Será que podemos assegurar que M seja compacto? Para isso temos de garantir que M também seja completo. Suponhamos por hipótese que M é totalmente limitado mas não completo (portanto não compacto). Então existe uma seqüência (x_n) em M de Cauchy mas não convergente. Considere c(M) o completamente de M e z = lim x_n em c(M). Podemos definir uma função f:c(M)\{z}->R por f(x) = 1/d(x, z), essa função é contínua. Agora restringimo-la para M, e ainda teremos uma função contínua. Mas f(x_n) torna-se uma seqüência ilimitada. Portanto f:M->R é contínua mas ilimitada. Por fim, podemos assegurar que se toda f:M->R contínua sai limitada, então M é um espaço métrico compacto. Como basta que para toda f contínua f(E) seja limitada para tirarmos que E é compacto, sua segunda pergunta também está respondida afirmativamente, pois ser totalmente limitado é mais forte do que ser limitado. Espero ter esclarecido a questão com resultados corretos. Eu não os conhecia, podem estar errados. Você está fazendo faculdade de matemática? Sempre suas dúvidas - já faz tempo isso - estão em paralelo com meus estudos, como se estivéssemos passando pelas mesmas cadeiras juntos. Gosto das suas dúvidas. Vou começar a enviar mais problemas universitários para a lista, acho que muitos de nós estamos já na universidade. Abraço, Duda. From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > Ola a todos! > Hah poucos dias enviei para a lista o seguinte problema de analise: > Seja E um subconjunto de R^n tal que toda funcao f:E=>R^m (m fixo), continua > em E, eh limitada. Entao, E eh compacto. > Minha demonstracao eh a seguinte, talvez alguem tenha uma outra: > > Inicialmente, verificamos que toda funcao de R^n em R^m eh do tipo > (f_1,...f_m) onde f_1,...f_m sao funcoes de R^n em R. Eh imediato que f eh > limitada se e somente se todas as f_i o forem. Logo, para demonstrarmos a > proposicao, eh suficiente considerarmos funcoes de E em R. Ou seja, o > enunciado original do teorema eh inteiramente equivalente aaquele obtido > substituindo-se f:E=>R^m por f:E=>R, qualquer que seja m. Baseados nisto, > vamos mostrar que E eh limitado eh fechado, condicao que, pelo Teorema de > Heine Borel, garante que E seja compacto. > > Se E nao for limitado, eh entao possivel, mantendo x em E, fazer com que ||x|| > torne-se arbitrariamente grande. Dado que x = (x_1,..x_n), eh entao possivel > fazer com que para pelo menos uma das componentes de x, digamos x_i, o valor > de |x_i| torne-se arbitrariamente grande. Definindo-se f:E=>R por f(x) = > |x_i|, obtemos uma funcao continua e ilimitada em E, o que contraria a > hipotese basica assumida sobre E. Desta contradicao, segue-se que E eh > limitado. > > Suponhamos agora que E nao seja fechado. Feita esta hipotese, existe entao um > elemto p em R^n que eh ponto de acumulacao de E mas nao pertence a E. > Definamos g:E=> R por g(x) =1/||x-p||. Como p nao pertence a E, g eh continua > em E. Das propriedades de pontos de acumulacao, segue-se que, escolhido > arbitrariamente M>0, existe sempre x em E tal que ||x-p||<1/M, o que implica > que f(x)>M. Como M eh arbitrario, concluimos que f eh continua e ilimitada em > E, contrariando a hipotese basica admitida. Logo, E eh fechado. > > Temos portanto que E eh limitado eh fechado, logo compacto. > Eu tenho uma duvida, serah que existe uma condicao semelhante valida em > espacos metricos gerais? Parece-me que nao dah para generalizar, mas nao estou > certo. Se E eh um subconjunto de um espaco metrico X e apresenta a propriedade > de que toda funcao continua de E sobre o espaco metrico Y eh limitada, entao E > eh compacto? Acho que nao. Mas talvez seja verdade (vou tentar analisar) se > admitirmos que, para toda funcao f uniformemente continua em E, f seja > totalmente limitada (isto eh, f(E) eh totalmente limitado). Parece um problema > para o Nicolau. > Um abraco > Artur > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================