Re: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes

[Marcio]

Title: Re: [obm-l] Raiz Quadrada

Cumprindo o prometido.. :) 2) Algo que eh util em varios problemas de recorrencia eh ir calculando os 1o termos da sequencia para ver o que esta acontecendo: No mes 0, Carmelino (C) nada fez e portanto tem M(0) = S(0) = a (M de montante total). Ja no mes 1, C ganha S(1) = a + b de salario e ele ganha i*M(0) de juros (pois os juros incidem sobre   3) Seja p(n) a resposta pedida. p(1)=p(2)=1, pq pra ganhar taca sao necessarios ao menos 3 torneios. Vamos olhar para p(3): Para que o torneio nao termine no 3o torneio, eh razoavel dividir a situacao em dois casos:     a) Se o vencedor do 2o torneio for diferente do vencedor do 1o (o que ocorre com probabilidade 4/5), entao o vencedor do torneio3 pode ser qq um que a taca nao sera ganha.     b) Se por outro lado, o vencedor V(2) do 2o torneio for igual ao do 1o - V(1) (o que ocorre com prob. 1/5), entao para a taca nao ser ganhar no 3o,basta que V(3) seja diferente de V(2) (o que ocorre com prob. 4/5). Somando, veja que p(3) = 4/5  + 1/5 * 4/5  = 24/25   Agora p(4):     a) Se V(2) != V(1) (prob. 4/5), entao o problema agora eh: Qual a probabilidade de, nos torneios 2,3,4, a taca nao ser dada para ninguem. E isso eh justamente p(3) (apenas os torneios mudaram de nome).     b) Se V(2)=V(1) (prob. 1/5), entao o torneio 3 tem que ser ganho por um time diferente de V(1) (prob. 4/5), e dai basta que a taca nao seja ganha nos torneios 3,4 (essa probabilidade eh p(2)=1). Portanto, p(4) = 4/5 * p(3) + 1/5 * 4/5 * p(2)   Esse raciocinio pode ser generalizado de maneira analoga: Para calcular p(n+2), divida em dois casos:     a) Se V(2)!=V(1) (prob. 4/5), entao basta saber a probabilidade de a taca nao ser ganha nos torneios 2,3,...,n+2, que eh p(n+1).     b) Se V(2)=V(1) (prob. 1/5), entao deve-se ter V(3)!=V(2) (prob.4/5) e dai a taca nao deve ser ganha nos torneior 3,4,...,n+2, o q ocorre com prob. p(n). Logo, p(n+2) = 4/5 * p(n+1) + 1/5 * 4/5 * p(n), i.e, 25p(n+2) = 20p(n+1) + 4p(n). Resolvendo a eq. caracteristica correspondente: 25t^2 - 20t - 4 = 0, donde t = (2 +- 2sqrt(2)) / 5. Logo, p(n) = A* [(2+2sqrt(2))/5]^n + B*[(2-2sqrt(2))/5]^n Analisando p(1) e p(2) (ou mais simples ainda, note que pondo n=0 na recorrencia, tem-se p(0) = (25-20)/4 = 5/4 para a recorrencia fazer sentido em 0): A+B = 5/4 2*(A+B) + 2sqrt(2)*(A-B) = 5 => A-B = 5sqrt(2)/8    Logo A = [10+5sqrt(2)]/16 e B = [10-5sqrt(2)]/16.   Isso fecha o problema..   O 2 ja tem dono, serah feito em breve :))  O fato de ele receber mensalmente e soh poupar anualmente parece deixar a coisa um pouquinho mais chata de ser escrita.       ----- Original Message ----- From: Marcio To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 24, 2003 9:45 AM Subject: Re: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes > 2) o salario de carmelino no mes n é sn=a +bn. Sua renda > mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas > aplicações financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua > renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa > i.determine a renda de carmelino no mes i. > > > 3) 5 times de igual força disputarão todo o ano um > torneio.Uma taça será ganha pelo time que vencer 3 veze s > consecutivas.Qual a probabilidade da taça ser ganha nos > n primeiros torneios?