Acho que não é difícil demonstrar esse resultado... considere uma permutação qualquer (i1, ..., i[n]) se i1 != n então i[j] = n para algum j > 1, e trocamos os índices i1 e i[j]. após essa troca nossa soma fica menor ou igual a anterior... os termos que mudaram foram a(1)*b(i1) <-> a(1)*b(n) a(j)*b(n) <-> a(j)*b(i1)
a(1)*b(i1) + a(j)*b(n) - a(1)*b(n) - a(j)*b(i1) = b(i1)*[a(1) - a(j)] + b(n)*[a(j) - a(1)] = [a(j) - a(1)] * [b(n) - b(1)] >= 0 repita o argumento, agora verificando se i2 = n-1 e assim consecutivamente... pra verificar o limitante superior o esquema é análogo. > Sejam a(1), a(2), ..., a(n) e b(1), b(2), ..., b(n) duas sequências de > números reais (não necessariamente positivos). > Suponhamos que: a(1) <= a(2) <= ... <= a(n) e b(1) <= b(2) <= ... <= b(n) > Seja (i_1, i_2, ..., i_n) uma permutação qualquer de (1, 2, ..., n). > Então: > a(1)*b(n) + a(2)*b(n-1) + ... + a(n)*b(1) <= a(1)*b(i_1) + a(2)*b(i_2) + ... > + a(n)*b(i_n) > e > a(1)*b(i_1) + a(2)*b(i_2) + ... + a(n)*b(i_n) <= a(1)*b(1) + a(2)*b(2) + ... > + a(n)*b(n) ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
