Pessoal, Tenho uma lista de Algebra Linear pra resolver e, como sou iniciante, tenho tido problemas (de confiança) com esses exercícios. Não sei se o que eu estou fazendo é certo. Vou mandar minha resolução dos mesmos e gostaria que alguém comentasse:
1 - Seja A: R^4 -> R^4 a aplicação linear representada com respeito à base canônica pela matriz ( 1 1 0 0 ) ( 0 0 1 1 ) ( 1 0 1 0 ) ( 0 1 0 1 ) Encontre uma base para R^4 constituída por elementos de N(A) e Im(A). Minha solução: Para acharmos a matriz da transformação T, multiplicamos essa dada por um vetor genérico, digamos (x, y, w, z). Fazendo isso, achamos a seguinte matriz T: ( x + y ) ( w + z ) ( x + w ) ( y ) Igualando cada linha acima a zero para achar o núcleo, vemos que o núcleo só possui o vetor nulo. Portanto, a imagem deve ter dimensão 4 (Teorema do Nucleo e da Imagem). Agora podemos dar alguns valores arbitrários, formando um conjunto de 4 vetores L.I., que seriam uma base do R^4, do tipo y = 0, x = 0, z = 1, w = 1 etc. 2 - Determine se a transformaçao linear T: R^3 -> R^3, dada por T(x,y,z) = (4x-z, x+2y+2z, 3x+y+3z) é invertivel usando o Teorema do Nucleo e da Imagem. Bom, aqui é fácil ver que N(T) = {0}, logo a transformação é injetiva. Mas, por um corolário do Teorema do Nucleo e da Imagem, como estamos lidando com espaço de saída e de chegada de dimensao iguais, T é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva. Portanto, ela é sobrejetiva também. Enfim, temos que T é bijetiva e, portanto, invertível. Nesse, a minha dúvida reside no fato de poder ou não considerar a volta. Na Lógica, usávamos 'se, e somente se' para indicar uma implicação para os dois lados, mas aqui também é possível fazer isso? Em tempo, ele pediu para demonstrar isso usando o Teorema do Núcleo e da Imagem, mas se tivesse pedido apenas para demonstrar de qualquer coisa, eu poderia dizer que os dois espaços são isomorfos a R^n, e portanto, isomorfos entre si? E isso acarretaria que T é um isomorfismo e, portanto, invertível? Valeu pela ajuda, pessoal! Henrique. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================