On Wed, Jun 11, 2003 at 02:17:08PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > Caros colegas da lista: > > Imagino que a dúvida do Carlos seja "que mudanças de váriáveis e > manipulações algébricas devem ser feitas para se achar uma anti-derivada de > f(x) = sen(x)/(1+x)?" > > O caso dssa função, e de várias outras, cujas primitivas não podem ser > expressas como combinações de funções elementares, me levam a seguinte > dúvida: Por que achar a derivada de uma dada função é quase sempre mais > fácil do que se achar uma primitiva dessa mesma função? > > Em geral, pra derivar uma função basta seguir uma "receita de bolo" e usar > corretamente as regras da adição, produto, quociente, cadeia, etc. Por outro > lado, para integrar funções relativamente simples temos que lançar mão de > integração por partes, substituições trigonométricas, frações parciais, etc. > e, em muitos casos (p.ex. f(x) = e^(x^2) ou g(x) = 1/ln(x)) nem isso > funciona. > > Gostaria muito de ver uma explicação, mesmo que filosófica, sobre este > fenômeno.
Não sei se tenho explicação filosófica mas tenho um comentário. Há um conceito de função elementar; grosso modo, são as funções para as quais o aluno de cálculo 1 tem uma "fórmula". Há um algoritmo bem simples para derivar funções elementares e este algoritmo é aprendido por todo aluno de cálculo 1. Há um outro algoritmo, que *não* é ensinado em cálculo 1, para, dada uma função elementar f, decidir se existe outra função elementar g com g' = f; se existir o algoritmo encontra g, se não existir o algoritmo demonstra este fato. Pq este algoritmo não é ensinado/aprendido em cálculo I? Em parte pq ele é complicado (difícil de ensinar aos alunos); em parte pq ele é lento (mesmo que os alunos aprendessem, não iam ter tempo de aplicar o algoritmo na hora da prova). Programas como maple e mathematica *aplicam* este algoritmo. Tente > int((cos(x))^(-5),x); no maple e ele responde: sin(x) sin(x) 1/4 ------- + 3/8 ------- + 3/8 ln(sec(x) + tan(x)) 4 2 cos(x) cos(x) mas tente > int(cos(x^3),x); e depois de um tempinho ele responde / 2/3 6 3 1/2 1/3 | 2 (2/7 x + 2/3) sin(x ) 1/6 Pi 2 |9/2 --------------------------- | 1/2 2 \ Pi x 2/3 3 3 3 2 (cos(x ) x - sin(x )) + 3 --------------------------- 1/2 2 Pi x 7 2/3 3 3 x 2 sin(x ) LommelS1(11/6, 3/2, x ) - 9/7 --------------------------------------- 1/2 3 11/6 Pi (x ) 7 2/3 3 3 3 3 \ x 2 (cos(x ) x - sin(x )) LommelS1(5/6, 1/2, x )| - 3 -----------------------------------------------------| 1/2 3 17/6 | Pi (x ) / Você pode não conhecer a função LommelS1 mas o fato é que esta coisa não é elementar. E se você tentar > int((x^2 + 1)/sqrt(x^8 + x^2 + 1),x); ele dá a resposta tautológica / 2 | x + 1 | ---------------- dx | 8 2 1/2 / (x + x + 1) ou seja, esta coisa não só não é elementar mas nem pode ser escrita com as outras funções mais difíceis mas que têm nomes que o maple conhece. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================