Caros colegas: Aqui estah uma construcao que ultrapassa a minha capacidade de visualizacao em mais de 3 dimensoes (descrita no livro: Mathematics - The Science of Patterns; pgs. 160/161; autor: Keith Devlin; Scientific American Library)
No R^2 um hipercubo eh apenas um quadrado, digamos, com vertices (2,2), (2,-2), (-2,2) e (-2,-2). Inscreva nesse quadrado 4 hiperesferas (no R^2 - circulos) com centros em (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) e raios iguais a 1. Considere agora o menor circulo centrado na origem e tangente aos 4 circulos descritos acima. Nao eh dificil ver que o raio desse circulo serah igual a raiz(2) - 1. Repita a construcao, mas agora no R^3: cubo com vertices (+/-2,+/-2,+/-2); 8 esferas de raio 1 e centros em (+/-1,+/-1,+/-1). A pequena esfera central (tangente as outras 8) agora terah um raio igual a raiz(3) - 1. Va adicionando dimensoes... No R^4: hipercubo com vertices (+/-2,+/-2,+/-2,+/-2) (16 ao todo); 16 hiperesferas com raio 1 e centros em (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1); hiperesfera central (tangente as outras 16) com raio igual a raiz(4) - 1 = 1. .... No R^n: hipercubo com 2^n vertices (+/-2,+/-2,...,+/-2); 2^n hipreseferas com raio 1 e centros em (+/-1,+/-1,...,+/-1); hiperesfera central com raio igual a raiz(n) - 1. ***** No R^n, o raio da hiperesefera central (tangente as demais) eh igual a diferenca entre: a distancia da origem ao centro de uma das hiperesferas de raio 1 e o raio de uma dessas hiperesferas (igual a 1, eh claro!) A distancia eh calculada mediante o teorema de Pitagoras em n dimensoes. d = raiz(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) = raiz(n) Logo, raio da hipersefera central = raiz(n) - 1. ***** Agora vem a parte surpreendente (pelo menos pra mim). Para qualquer n, a aresta do hipercubo do R^n mede 4. Se n = 9, o raio da hiperesfera central serah igual a raiz(9) - 1 = 2 e se n > 9, o raio serah maior do que 2, ou seja, a hiperesfera central ira se estender para alem das (hiper)faces do hipercubo. Alguem consegue visualizar isso? Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================