On Sat, Jun 21, 2003 at 01:30:22AM -0300, Claudio Buffara wrote: > Caros colegas: > > 1) Pode existir um isomorfismo entre o grupo aditivo dos reais e o grupo > aditivo dos complexos?
Sim. Ambos são espaços vetoriais sobre Q (o corpo dos racionais). Assim R admite uma base X: X é um subconjunto de R tal que todo número real pode ser escrito de forma única como uma combinação linear (finita) de elementos de X com coeficientes em Q. Não é difícil provar que X deve ter o mesmo cardinal de R mas isso nem é necessário, basta ver que X é infinito para ver que existe uma bijeção entre X e X U iX (onde iX é o conjunto dos produtos ix onde i = sqrt(-1) e x é um elemento de X). Como X U iX é base de C temos um isomorfismo entre R e C como espaços vetoriais sobre Q. O que é difícil é exibir um tal isomorfismo (ou um conjunto X como acima). Para garantir que ele existe precisamos do axioma da escolha. Note que se V=L então temos como exibir X muito explicitamente mas esta descrição de X deve ser completamente errada se não valer V=L. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================