" Dado um no racional a/b não-nulo e diferente de 1, existe n>=2 inteiro tal que raiz n-esima de a/b é irracional.", uma demonstração pode ser a seguinte:
Indiquemos a raiz n-ésima de x por R_n(x) .
Podemos tomar x = a/b , com a e b coprimos ( isto é, sem fator comum ) . Podemos supor a > 0, pois caso a<0, tome n=2. Suponha também a <>1. Neste caso, a admite uma fatoração única . Seja p um fator primo qualquer de a ( note que p não pode ser fator de b ! ) e seja m o expoente de p na fatoração de a . Tome n = m+1. Então R_n (x ) é irracional. De fato, supondo R_n(x) = c/d , com c e d coprimos, decorre que a/b = c^n/d^n => ad^n=bc^n . Como a e b são coprimos, cada fator primo de a, em particular p, deve dividir c ( logo não pode dividir d !!! ) e, portanto, p^n divide bc^n => p^n divide ad^n => p^n divide a. Absurdo! A maior potência de p que divide a é p^m e m = n-1
Se a = 1, repita o procedimento acima para b .
2) f(x) = | -8 - 3 sen(x) | . -1 <=sen(x) <=1 => -11 <= -8 -3sen(x) <= -5 , o primeiro valor atingido quando sen(x)=1 e o segundo quando sen(x)=-1, portanto quando x=pi/2 e x= -pi/2, respectivamente. Como g(x)=-8-3sen(x) é uma função continua, decorre do TVI , que a imagem de g(x) é o intervalo fechado [-11 , -5 ] . Logo, a imagem de f(x)=|g(x)| = [0, 11] .
Tente um procedimento análoga para a outra função.
Um abraço, Frederico.
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 2 questoes Date: Sun, 22 Jun 2003 11:59:04 EDT
Ola pessoal,
Como resolver estes:
1) Prove que, dado um número racional a/b e umnúmero natural n maior ou
igual a 2, nem sempre raiz enésima de a/b eh racional.
2) Qual o conjunto imagem das seguintes funcoes:
a) Æ’(x)=|-8-3senx|
b) Æ’(x)=|-2+3cosx|
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