Oi Marcio ! Tudo Legal ?
Como voce so fala "Anel" entao eu nao vou supor que ele tem uma unidade. Respondendo a sua pergunta : Voce nao errou, apenas nao continuou ...
Dado que NESTE ANEL X^2 = X, entao, em particular, (-X)^2 = -X. Mas, conforme voce deve saber, EM QUALQUER ANEL, (-X)^2=X^2. Segue que, NESTE ANEL : X^2=-X. Portanto, NESTE ANEL,
X^2=X e X^2 =-X. Logo X=-X. Conclusao : NESTE ANEL, qualquer elemento e igual ao seu simetrico !
Voce provou que XY = -(YX). Mas, pelo que vimos, NESTE ANEL, -(YX)=YX. Dai : XY=YX. E portanto este Anel e, de fato, comutativo.
Nao entendi a outra questao... E claro que se tomarmos quaisquer outros dois inteiros e dividirmos por 5 ( que e o terceiro elemento do conjunto ! ) o respo pode ser diferente. Por exemplo 3*5= 15. 15 por 3 da resto zero.
Um Abraco Paulo Santa rita 2,0948,070703
From: "mmrocha1" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Sugestao para solucao Date: Sun, 6 Jul 2003 10:50:25 -0300
Saudacoes a todos!
Faco Matematica na UERJ e gosto de me divertir resolvendo (na verdade, na maior
parte das vezes, soh tentando) resolver problemas olimpicos. Nao sou aquilo que se
poderia chamar de "aluno talentoso", mas sou curioso, persistente e estudo
Matematica porque realmente gosto. Alem disso, penso que estudar temas
olimpicos pode ajudar a melhorar a minha formacao. Jah escrevi para a lista
ajudando na solucao de problemas bem simples, jah fui corrigido pelo Prof Morgado,
e tudo isso para mim eh muito bom!
Bem vamos ao que interessa.
Tem dois problemas que gostaria de uma ajuda para resolver. Nao eh necessario
dar a solucao, mas uma sugestao jah serve. Um eh de Algebra, do livro do Adilson
Goncalves, e o outro eh de uma apostila de treinamento olimpico.
1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh comutativo.
A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + y.
Desenvolvendo, temos:
x.x + x.y + y.x + y.y = x + y.
x^2 + x.y + y.x + y^2 = x + y.
Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
xy = -(yx)
Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
Aqui vai o outro problema.
2) Considere o conjunto formado pelos elementos 2, 3 e 5. Se multiplicamos
quaisquer dois elementos e dividimos o resultado pelo terceiro elemento, o resto da
divisao eh 1. Existem outros conjuntos de 3 elementos com esta mesma
propriedade, ou este eh o unico? "
Nao creio que seja dificil, mas nao consigo enxergar um bom caminho.
Gostaria de agradecer a atencao de todos, e me desculpem se os problemas nao
sao um desafio intelectual para a maioria.
Um abraco, Marcio Rocha.
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