Ei pessoal, voces notaram que o problema 6 da prova e' uma versao simplificada de um problema que eu e o Ed mandamos em uma das listas de treinamento do ano passado? O problema da lista era algo assim:
Sejam a,r>1 e p um primo. Prove que existe um primo q tal que (a mod q) tem ordem p^r. Este e' o famoso lema de van der Waerden, que e' utilizado na prova do teorema de reciprocidade geral de Artin (mais detalhes, veja por exemplo Lang, Algebraic Number Theory, pag. 200). A minha solucao e' curta demais pra um problema 6 da IMO, entao gostaria de pedir que voces checassem a solucao. Para nao irritar aqueles que ainda nao pensaram no problema, vou deixar um espaco em branco: mais em baixo... mais um pouco... ta' chegando... Agora sim, vamos ao problema. Em primeiro lugar, olhando para uma raiz primitiva de q, e' facil reduzir o problema a provar que existe um primo q tal que p mod q nao e' uma p-esima potencia, i.e., p^{(q-1)/p} mod q nao e' 1 mod q. Considere N = (p^p-1)/(p-1) = p^(p-1) + ... + p + 1 Se q e' um primo que divide N e p-1, entao de N=p mod q, segue q=p, absurdo. Entao para todo primo q que divide N, p mod q tem ordem exatamente p. O problema acaba se p^2 nao divide q-1, mas se todos os primos que dividem N sao = 1 mod p^2, entao N = 1 mod p^2, o que e' um absurdo. Agora vejam: se no lema de van der Waerden a=p, r=1, este e' exatamente o problema da IMO, com algumas pequenas modificacoes! A solucao do problema da lista e' igualzinho `a demonstracao acima. Eu lembro que o Alex e o Issao fizeram este problema, e acho que mais alunos tambem acertaram. Espero que os pokemons tenham se lembrado do problema durante a prova! Estamos melhorando: um problema na IMO e uma previsao acertada! Alguem arrisca os proximos numeros da loto? Ate' ET __________________________________ Do you Yahoo!? SBC Yahoo! DSL - Now only $29.95 per month! http://sbc.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================