Ola Prof Morgado, Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Vou tentaracrescentar mais detalhes a resposta do Prof Morgado. Conforme o Prof assinalou, o erro na sua demonstracao esta na passagem :
fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 ............................. 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0
(Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
Ao acrescentar a nova linha e a nova coluna, PRESSUPONDO QUE O DETERMINANTE DA MATRIZ "A+I" DE ORDEM "N-1" E DIFERENTE DE ZERO, tudo que voce pode concluir e que A CARACTERISTICA DA NOVA MATRIZ "A+I" e pelo menos N-1, isto e, que se o determinante da nova matriz "A+I" for igual a zero entao, necessariamente, com base no teorema de Rouche-Capelli, ao atribuir um valor arbitrario ( digamos : ALFA ) a nova varialvel Xn e transformando a coluna N nos termos independentes, teremos um sistema de N-1 incognitas e N equacoes, possivel e determinado.
E interessante perceber que se A e anti-simetrica de ordem maior que 2, entao, em A+I, se suprirmos a primeira linha e a primeira coluna, a matriz resultante e ainda da forma A+I, com A anti-simetrica; igualmente, se suprirmos a ultima linha e a ultima coluna, a matriz resultante e da forma A+I, com A anti-simetrica. O que estou tentanto lhe dizer e que o raciocinio do paragrafo anterior podera ser aplicado duas vezes ...
Existe um teorema ( de Jacobi ou Cauchy, nao me lembro ao certo ) que os livros de ensino medio abordam, que e o seguinte :
TEOREMA : Se acrescentarmos a uma fila de uma matriz quadrada uma combinacao linear das demais filas paralelas, o determinante desta matriz nao se altera"
COROLARIO : Se uma fila de uma matriz quadrada e uma combinacao linear das demais filas paralelas entao o determinante desta matriz e igual a zero
OBS : Estou usando fila como sinonimo de linha ou de coluna.
Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1110,280703
From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de matrizes Date: Mon, 28 Jul 2003 08:46:15 -0300
ASSINALEI O ERRO.
Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z =1, x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a conclusao que este sistema eh impossivel.
Alexandre Daibert wrote:
Olha, eu fiz uma demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém achasse o erro na minha demonstração para mim.
A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas olhe no fim deste e-mail q também está postado)
resumindo a idéia principal da questão anterior:
no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas)
(A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na questão anterior)
provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico:
X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos iguais a zero
provando para matriz 1x1: A (1x1) = matriz unidade [0] X = matriz unidade [x] AX = -X [0]*[x] = -[x] [0] = -[x] x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1
provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para matriz nxn
o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) :
x1 + ax2 + bx3 + ... = 0
-ax1 + x2 + dx3 + ... = 0
-bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0
......................................
-gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0
por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0)
para A nxn temos:
x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0 ............................................... -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0 -kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0
fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 ............................. 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0
(Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
da última equação, constatamos q x(n)=0
x(n)=0 => X=(0) => det (A + I) diferente de zero => (A + I) é inversível para todo n
segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois não é válida para a seguinte matriz A:
|| 0 1 ||
|| 1 0 ||
cujo det (A + I) = 0
Aguardo ansiosamente respostas
Alexandre Daibert
Alexandre Daibert escreveu:
Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe. Valeu aí!
Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki:
sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn, X matriz coluna n)
temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0) (matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B é diferente de zero (pois o sistema é determinado)
resumindo:
X = (0) => det B dif. de 0
fazendo B = (A + I) temos
(A + I)X = (0)
AX + X = (0)
AX = -X ....(1)
A^2*X = -AX de (1): A^2*X = X A^3X = AX kAX = -X -kX = -X (k-1)X=(0) como k diferente de 1 X = (0) (logo a matriz A + I é inversível)
alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o nosso problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada...
Valeus aÊ!!!
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