Ola Prof Gugu e demais colegas desta lista ... OBM-L,
A mensagem a que o Prof Okakamo se refere e :
************ INICIO DA MENSAGEM DO DIRICHLET
LEGAL<LEGAL<LEGAL!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Consegui fechar o problema 3 da IMO!!!!!!!!!!Confiram ai pra ver se nao tem nenhum erro.
Agradeço ao Paulo Santa Rita pelas suas dicas de vetores e ao Marcio Afonso Assad Cohen pela ideia de usar desigualdades(e ao problema cinco da IMO da India pela fabulosa ideia) e ao Tengan por ter me ensinado a aplicar a tecnica "leve tudo ate as ultimas consequencias!!!".
O nosso hexagono tera o nome bastante original de ABCDEF cujos pontos medios sao o hexagono nao menos original MNPQRS,com M em AB,N em BC e assim por diante.
O enunciado afirma que MQ=(raiz(2) 3)/2 *(AB+DE)= e assim por diante.Devemos mostrar que o hexagono e equiangulo.
Seja t=sen 30°=COS 60º=(raiz(2) 3)/2.
Começaremos demonstrando que os lados opostos são paralelos.
Considere a origem em qualquer lugar.O ponto medio de AB e (A+B)/2 entao o vetor que liga os pontos medios de AB e DE e (A+B-D-E)/2.Assim |A+B-D-E|>=2t*(|A-B|+|D-E|).Para melhorar a joça vamos tentar usar a desigualdade triangular para vetores.Sabemos que |A-B|+|D-E|>=|A-B-D+E| com igualdade se e somente se AB//DE(entendeu o paralelismo ai?).Assim |AD+BE|>=2t|AD-BE|.
Quadrando e usando produto interno euclidiano:
<AD,AD>+2<DA,EB>+<EB,EB> >=
3*(<AD,AD>-2<DA,EB>+<EB,EB>) ou equivalentemente <AD,AD>+<EB,EB> <=4*<AD,EB>.Analogamente
<EB,EB>²+|FC,FC|²<=4*<EB,FC>
<FC,FC>²+<AD,AD>²<=-4*<FC,DA>.
Somando,obtemos 2*(DA-EB+FC)²<=0.Logo
DA-EB+FC=0,e os lados opostos são paralelos(verifique as igualdades!).
0=A-D-B+E+C-F=BA+DC+FE,logo os vetores AB,CD e EF podem fechar um triangulo.Isto ja e mais um ponto ao nosso favor!
Se transladarmos EF na direção ED,obtemos CG no prolongamento do lado BC,devido ao paralelismo.Em miudos, desenhamos os paralelogramos ADCH,ABEI,CFEG.Devido aos paralelismos produzimos um triângulo GHI com o nosso ABCDEF dentro.Basta demonstrar que o triangulo GHI e equilatero.Para tal:
DEVER DE CASA:cada mediana de um certo triangulo mede
sen 60° vezes o lado correspondente.Calcule os angulos do triangulo.(DICA:umas SLCs podem ajudar,ou use Stewart)
A PARTIR DAQUI FAÇA UM BOM DESENHO!
Os triangulos HAB,FIE,CDG e HIG são semelhantes por paralelismo.E pelo mesmo motivo os tres primeiros triangulos sao congruentes e homoteticos ao quarto(se lembra dos vetores?).Assim IE=DG e EQ=DQ,logo IQ=QG e assim sendo Q e ponto medio de GI.Pela homotetia e visivel que H,M,Q se alinham.
Vamos calcular a razao HQ/IG:
HQ/IG=HM/AB=(HM-HQ)/(AB-GI)=MQ/(AB+DE)=cos 60°,e de acordo com o dever de casa(voce fez?),COMEMORE!!!!!!
Sera que ressa vai pra Eureka! ?Vou enviar JA!!!!!!!
UM ABRAÇAO!!!!!Ass.:Johann
********** FIM DA MENSAGEM DO DIRICHLET
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] News from IMC!!!!!!! / Dirichlet Date: Mon, 28 Jul 2003 10:54:21 -0300 (EST)
Caros Paulo e Okakamo,
Nao sei a qual mensagem do Dirichlet voces se referem, mas a que eu vi (e
da qual reproduzo abaixo uma parte) sobre o problema 6 menciona
explicitamente que e' do Tengan a solucao que ele copia. Se for assim acho
que voces estao exagerando um pouco...
Abracos,
Gugu
Date: Mon, 21 Jul 2003 15:43:53 -0300 (ART) From: [** iso-8859-1 charset **] Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] E-mail do Tengan sobre o IMO 6 To: [EMAIL PROTECTED]
---Executing: shownonascii This message contains non-ASCII text, but the iso-8859-1 font has apparently not yet been installed on this machine. (There is no directory named /usr/local/lib/fonts.) What follows may be partially unreadable, but the English (ASCII) parts should still be readable.
Legal,esta ideia e parecida com a minha.Mas uma coisa:alguem pode ser mais explicito nesta parte de olhar a raiz primitiva de q?E como e que a ordem e exatamente p?
--- edmilson motta <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Ei pessoal,
>
> voces notaram que o problema 6 da prova e' uma
> versao simplificada de um problema que eu e o
> Ed
> mandamos em uma das listas de treinamento do
> ano
> passado? O problema da lista era algo assim:
>
> Sejam a,r>1 e p um primo. Prove que existe um
> primo q tal que (a mod q) tem ordem p^r.
>
>Ola Prof Okakamo e demais
>colegas desta lista ... OBM-L,
>
>Protesto !
>
>Eu, em OFF, estava dizendo ao Gugu que aguardassemos mais um tempo antes de
>enviar solucoes das questoes IMO, para que os demais participantes,
>sobretudo os que se preparam para as olimpiadas, tivessem oportunidade de
>enviar as suas solucoes ou parte delas. Eu francamente acreditava e continuo
>acreditando, que muitos membros serios, estudantes, tem totais condicoes de
>resolver qualquer das questoes, alem da 4 ( que e trivial ).
>
>Como nao conhecia o ridiculo plagio do Dirichlet, disse : Olha ai Gugu, viu
>a solucao do Dirichlet ? Isso e uma prova de que devemos aguardar um pouco
>mais !
>
>Agora o Prof Okakamo esclarece tudo ... Que feio ! O Plagiario e o ladrao da
>inteligencia ! Isso e um crime que consta na lei do direito autoral e cabe
>denuncia ao Ministerio Publico Federal : Eu sou do Ministerio Publico
>Federal e uma das minhas funcoes e justamente combater crimes ciberneticos !
>Nao e muito mais facil mergulhar dentro de si mesmo e escutar o nosso Prof
>interno ? A solucao vem normalmente !
>
>Em sintese, se o Prof Okakamo nao esta enganado, eu me associo a sua
>indignacao e repudio atitudes tao baixas quanto esta !
>
>Um Abraco a Todos !
>Paulo Santa Rita
>1,1737,270703
>
>
>
>
>>From: okakamo kokobongo <[EMAIL PROTECTED]>
>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>To: [EMAIL PROTECTED]
>>Subject: [obm-l] News from IMC!!!!!!!
>>Date: Sun, 27 Jul 2003 13:56:23 -0300 (ART)
>>
>> Oi pessoal pessoal da lista,
>>
>> Finalmente consegui internet aqui na Romenia (estou
>>com os alunos da IMC,
>>junto com o Luciano), tirando duvidas das solucoes dos
>>meus problemas
>>propostos (eu e o Luciano estamos tentando explicar a
>>ideia de alguns
>>problemas para o pessoal da banca).
>>
>>
>> Gostaria de fazer um pequeno protesto:
>>O participante da lista "Dirichlet" estah plagiando
>>ideias de meu caro
>>e estimado pupilo Eduardo Tengan, que resolveu o
>>problema 6 da IMO (de uma
>>forma elegante) e o participante simplesmente copiou e
>>colou sem a minima
>>vergonha. Considero essa atitude desprezivel,
>>ridicula. E ja nao eh a
>>primeira vez que isso acontece. Ficar se gabando de
>>que uma coisa que
>>nao se fez eh simplesmente estupido. Seja honesto!!!!
>>(inclusive no nome)
>O
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