:c)
Claudio Buffara escreveu:
on 29.07.03 03:43, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Desculpe pela pressa ao escrever este problema.
Na primeira resolução você não teria também que provar para n=0 ?? (ou, naturalmente restringir para naturais positivos)
*** Tudo bem. Como voce nao tinha especificadao um universo para n, eu assumi que era o conjunto dos inteiros positivos. De qualquer jeito, o caso n = 0 eh trivial: basta tomar x tal que cos(x) <> 0 e sen(x) <> 0, e teremos cos^0(x) + sen^0(x) = 1 + 1 = 2.
A segunda resolução é realmente bem mais interessante. :-P
*** Tambem acho, mas talvez nao seja de nivel secundario....
Um abraco, Claudio.
Claudio Buffara escreveu:
Oi, Alexandre:
Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o conjunto dos naturais:
A minha ideia eh provar que se n <> 2, entao existira um valor de x para o qual a identidade falha.
Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x.
1) n eh impar: Nesse caso, tome x = 5pi/4 ==> cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) ==> cos^n(x) + sen^n(x) < 0 < 1
2) n eh par e > 2: Nesse caso, tome x = Pi/4 ==> cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) ==> cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) < 1/2 ==> cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) < 1/2 + 1/2 = 1
Logo, n soh pode ser igual a 2.
*****
O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais.
Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x).
Derivando em relacao a n: f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x)
0 < sen(x) < 1 e 0 < cos(x) < 1 ==> ln(sen(x)) < 0 e ln(cos(x)) < 0 ==> f'(n) < 0 para todo n ==> f eh monotona decrescente ==> f eh injetiva ==> existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2).
Um abraco, Claudio.
---------- From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> <mailto:[EMAIL PROTECTED]> Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300 To: <[EMAIL PROTECTED]> <mailto:[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria
Oi, Morgado:
Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que a questao eh demonstrar que:
Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2.
Um abraco, Claudio.
on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote:
???
Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert <[EMAIL PROTECTED]> <mailto:[EMAIL PROTECTED]> disse:
Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a nível de segundo grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar:
sen^x + cos^x = 1
provar que n=2
Alexandre Daibert
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
