On Wed, Jul 30, 2003 at 02:53:21AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Prove que existem infinitos primos congruos a 3 módulo 4...... > Um abraço, > Crom
Sejam p1, p2, ..., pn alguns primos congruos a 3 módulo 4. Tome N = 4*p1*p2*...*pn - 1; N é congruo a 3 módulo 4 logo admite pelo menos um fator primo q congruo a 3 módulo 4. Por outro lado nenhum dos pi pode ser fator de N assim q é diferente de p1, p2, ..., pn. Isto nos dá um algoritmo (muito ineficiente) para obter uma lista infinita de primos distintos congruos a 3 módulo 4. Este é um caso particular fácil do teorema de Dirichlet: se a e b são primos entre si então existem infinitos primos da forma ak + b. Outro caso particular bem fácil é (a,b) = (6,5). Casos um pouco menos fáceis mas ainda elementares são (4,1) e (6,1); o problema 6 da IMO tem bastante a ver com o caso (p,1), p primo. Existe uma demonstração do caso b = 1, a qualquer, que usa polinômios ciclotômicos e ainda é de certa forma elementar. O caso geral usa teoria analítica dos números. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
