Oi pessoal, segue abaixo a minha solução do problema 1 do primeiro dia da IMC. Ah, parabéns aa equipe brasileira!! Foi um ótimo resultado para uma primeira participação nessa competição!!! 1)a) Seja a1, a2, ... , an, ... uma sequencia de numeros reais tais que a1=1 e a(n+1)>3/2*an para todo n. Prove que a sequencia a(n) ------------ (3/2)^(n-1)
tem um limite finito ou tende a infinito b) Prove que para todo alfa>1 existe uma sequencia a1,a2, ... ,an, ..., com as mesmas propriedades , tal que lim a(n) n->oo ----------- = alfa (3/2)^(n-1) Sol.: Defina b(n) tal que a(n+1)=3/2.a(n).b(n). Então pela condição do problema temos b(n)>= 1. Além disso,multiplicando essas n-1 primeiras igualdades, temos: a(2)= 3/2.a(1).b(1) . . => a(n)= (3/2)^(n-1).b(1)...b(n-1) (*) => . a(n)= 3/2.a(n-1).b(n-1) a(n)/[(3/2)^(n-1)]= b(1)...b(n-1) Como b(i)>1, a sequência c(n-1)= b(1)...b(n-1) é estritamente crescente. Logo tem um limite finito ou tende ao infinito. (b) Continuando a trabalhar com os b(i)´s, faça b(n)= alfa^(2^(-k)). Como alfa >1, temos b(n)>1, e ainda b(1)...b(n-1)= alfa[1-2^(-n)], de modo que lim c(n-1)= alfa. Os a(n)´s ficam definidos então por (*): a(n)= (3/2)^(n-1).alfa[1-2^(-n)]. Ateh mais, Yuri []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================