Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-l,
A sua solucao e bonita e usa recursos do nivel no qual ela foi proposta.
Segundo a pessoa que me mostrou, a questao foi apresentada para alunos com grau de estudo equivalente ao nosso nivel 2 ( setima e oitava series ). Essa a razao de nao se poder usar calculo na resolucao. Nao sei de qual pais e.
Na resposta considerava-se que zero tambem era raiz.
Um Abraco Paulo Santa Rita 3,2325,050803
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] x^x = 2^(-raiz(x)) Date: Tue, 05 Aug 2003 19:05:51 -0300
on 01.08.03 15:10, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Ola Pessoal !
>
> Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) :
>
> Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a raiz
> quadrada de X.
>
> Regra : Nao vale usar calculo !
> Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ...
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 6,1508,010803
>
Oi, Paulo:
O universo de x tem que ser o conjunto dos reais positivos.
x^x = 2^(-raiz(x)) ==>
(x^raiz(x))^raiz(x) = (1/2)^raiz(x) ==>
x^raiz(x) = 1/2
Vamos supor que x = 1/2^n. Nesse caso:
x^raiz(x) = (1/2^n)^(1/2^(n/2)) = (1/2)^(n/2^(n/2)) = 1/2 ==> n/2^(n/2) = 1 ==> n = 2^(n/2) ==> n^2 = 2^n ==> n = 2 ou n = 4 ou n = -a, onde a eh um numero real positivo menor do que 1 e tal que a^2 = 2^(-a) (repare que os graficos de y = x^2 e y = 2^x se intersectam num ponto de abscissa negativa igual a -a. Nao faco a menor ideia se a eh racional ou irracional ou mesmo transcendente, mas apostaria nessa ultima alternativa)
n > 4 ==> 2^n > n^2 ==> n = 4 eh a maior solucao de n^2 = 2^n
Portanto: n = 2 ==> x = 1/4 Testando: x^x = (1/4)^(1/4) = (1/2)^(1/2) = 1/raiz(2) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/4)) = 2^(-1/2) = 1/raiz(2) ==> x = 1/4 eh raiz
n = 4 ==> x = 1/16 Testando: x^x = (1/16)^(1/16) = (1/2)^(4/16) = 1/2^(1/4) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/16)) = 1/2^(1/4) ==> x = 1/16 eh raiz
n = -a ==> x = 2^a Testando: x^x = (2^a)^(2^a) = 2^(a*2^a) = 2^(a/a^2) = 2^(1/a) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(2^a)) = 2^(-raiz(1/a^2)) = 2^(-1/a) ==> x = 2^a nao eh raiz
Assim, a equacao original tem 2 solucoes: x = 1/4 e x = 1/16.
Um abraco, Claudio.
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