Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria procurasse erros nela, ou tentasse simplificá-la.
Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg. da esq. p/ dir. Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0 ou W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras não-negativas, onde n só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 Provemos agora que p só pode ser zero. W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais q+n^0,5=3*10^t q+n^0,5=10^s q=3*10^t+n^0,5 temos dois casos: t>=s :. e ou t<s :. e ; ou q-n^0,5=10^s q-n^0,5=3*10^t q=10^s+n^0,5 a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n ou b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores possíveis de n faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa. b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior, logo a hipótese b também é falsa Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve haver zeros, com isso W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 Logo a resposta será: 3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q>=0 e q inteiro >>>> --- Claudio Buffara >>>> escreveu: > Caros >>>> colegas: >>>>> >>>>> Aqui vao dois problemas que ainda estao em >>>>> aberto na lista. O primeiro foi >>>>> enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da >>>>> olimpiada iraniana, se nao me >>>>> engano. >>>>> >>>>> 1) Determinar o conjunto de números inteiros >>>>> positivos que satisfazem à duas >>>>> condições: (i) todo número possui exatamente >>>>> dois algarismos não-nulos, >>>>> sendo um deles o três(3), (ii) todo número é >>>>> quadrado perfeito. >>>>> >>>>> 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 >>>>> tal que ao se permutar os >>>>> algarismos de sua representacao decimal >>>>> obtem-se uma outra potencia de 2. >>>>> >>>>> Esse segundo tem uma solucao aparentemente >>>>> simples, mas esta solucao exclui >>>>> o caso de potencias de 2 com algarismos "0" >>>>> internos (ou seja, numeros do >>>>> tipo "abcd0000efg"). >>>>> >>>>> Um abraco, >>>>> Claudio. >>>>> >>>>> >>>>> >>>> >>>> _______________________________________________________________________ >>>> Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. >>>> Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! >>>> http://www.cade.com.br >>>> >========================================================================= >>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>>> >========================================================================= >>> >>> ========================================================================= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>> ========================================================================= >>> >>> ---------- >> >> _________________________________________________________ >> Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? >> Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br >> Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ >> Ofertas imperdíveis! >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > >---------- _________________________________________________________ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================