On Wed, Aug 13, 2003 at 07:06:06PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: > Olá Dirichlet, > > eu também pensei sobre o problema: demonstrar que não existe uma função nos > reais contínua nos racionais e somente neles. Sequer tenho alguma estratégia > ou alguma idéia de como atacar o problema. Será que alguém pode dar uma > sugestão? O único "progresso" que fiz - que nem sei se está certo - é intuir > que os racionais não são um conjunto tão especial neste enunciado, eu > suspeito que podemos substituir por enumeraveis densos nos reais. > > Quem quiser fazer comentários, sinta-se à vontade.
Isto é essencialmente um corolário do teorema de Baire. Se a função é descontínua em um ponto x então existe um n tal que para todo delta > 0 exitem x1, x2, |x - x1| < delta, |x - x2| < delta, com |f(x1) - f(x2)| >= 1/n. Seja Xn o conjunto dos x que satisfazem esta condição (para n dado). Prove que Xn é fechado. Se f é contínua nos racionais prove que Xn tem interior vazio. A união de todos os Xn e de todos os conjuntos da forma {x} com x racional não pode ser igual a R. A sua intuição está certíssima. Não apenas a mesma prova se aplica mas dados dois subconjuntos Y1 e Y2 enumeráveis densos de R, existe uma bijeção crescente (portanto contínua e com inversa contínua) g com g(Y1) = Y2. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================