Ah,eu nao li sua soluçao ainda mas me lembrei do artigo.Va no link http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/
Ai estara um artigo do Kiran sobre desigualdades. Talvez depois eu acabe o problema... --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 08.08.03 17:16, Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Oi turma!!!!!!!!Ontem imprimi a prova da > decima > > IMC.Eu nao consegui fazer muita coisa,afinal > > ainda estou nmo ensino me dio.Mas parei pra > > pensar no problema seis no onibus enquanto > > voltava a casa.Aqui vai um resumo. > > > > "Seja f(x)=soma de 1 ate n de a_n*x^n um > > polinomio em R[x].Se f(t)=0 acarreta Re(t)<0 > > entao a_k*a_(k+3)<a_(k+2)*a_(k+3)" > > Podemos supor que o polinomio e monico. > > Consegui resolver isto no caso n=3: > > Caso 1:as raizes sao reais.Logo o polinomio > pode > > ser escrito na forma (t+t1)(t+t2)(t+t3) com > os ts > > positivos.Assim basta abrir e conferir a > > desigualdade automaticamente! > > Caso 2:complexos nas raizes.Basta fazer > > Re(f)=Im(f)=0,escrever e usar o caso > anterior! > > > > Pro caso geral tive uma ideia bem > legal.Tentem > > ver se este artigo ainda esta online,senao... > > > > Parece Parece que na pagina da AMS tem algo > do > > Kiran Kedlaya sobre desigualdades.Tem um > truque > > util que deve dar para o gasto nesse > problema... > > Favor procurar em www.ams.org algo > parecido... > > > Oi, Dirichlet: > > O enunciado na verdade diz que: > a(k)*a(k+3) < a(k+1)*a(k+2) para k = 0,1,.., > n-3 > > ***** > > Esse deu um certo trabalho... > > Na minha opiniao, a observacao mais importante > para esse problema eh a > seguinte: > Se todas as raizes de um dado polinomio real > p(x) tem parte real negativa, > entao os fatores irredutiveis de p(x) serao da > forma: > (x + a), onde a eh um real positivo > ou > (x^2 + bx + c), onde b e c sao reais positivos. > Assim, se p(x) = a(0) + a(1)*x + ... + > a(n)*x^n, entao todos os a(i) terao o > mesmo sinal (em particular, se p(x) for monico, > entao todos os coeficientes > serao positivos) > > Isso quer dizer que, para 0 <= i <= j <= n, > teremos a(i)*a(j) > 0. > > ***** > > Os casos onde grau(p(x)) = 1, 2 e 3 podem ser > verificados por inspecao, como > voce disse. > > Hipotese de inducao: > Suponha que o resultado seja verdadeiro para > polinomios de grau <= n. > > Seja p(x) = b(0) + b(1)*x + ... + > b(n+1)*x^(n+1) um polinomio de grau n+1 > cujas raizes tem parte real negativa. > > Precisamos considerar apenas dois casos: > > CASO 1: Todas as raizes de p(x) sao reais (e > negativas). > Nesse caso, podemos escolher duas dessas raizes > e chamar a sua soma -t e seu > produto de u (u, t: reais positivos). > > CASO 2: p(x) possui (pelo menos) um par de > raizes complexas conjugadas. > Nesse caso, podemos chamar as suas partes reais > (que sao iguais) de -t/2 e > seus modulos (tambem iguais) de raiz(u) (u, t: > reais positivos). > > Em ambos os casos podemos escrever: > p(x) = (x^2 + tx + u)*q(x), onde q(x) eh um > polinomio de grau n-1 cujas > raizes tem parte real negativa. > > ***** > > q(x) = a(0) + a(1)*x + ... + a(n-1)*x^(n-1) ==> > > Para 0 <= k <= n+1, a relacao entre os > coeficientes de p(x) e q(x) eh: > > b(k) = u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2) > > onde convencionamos que: > a(-2) = a(-1) = a(n) = a(n+1) = 0. > > ***** > > Seja k um inteiro tal que 0 <= k <= n-2. > > b(k+1)*b(k+2) - b(k)*b(k+3) = > > [u*a(k+1) + t*a(k) + a(k-1)]*[u*a(k+2) + > t*a(k+1) + a(k)] - > [u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2)]*[u*a(k+3) + > t*a(k+2) + a(k+1)] = > > [a(k+1)a(k+2) - a(k)a(k+3)]*u^2 > + [a(k+1)^2 - a(k-1)a(k+3)]*u*t > + [a(k)a(k+1) - a(k-1)a(k+2)]*t^2 > + [a(k-1)a(k+2) - a(k-2)a(k+3)]*u > + [a(k)^2 - a(k-2)a(k+2)]*t > + [a(k-1)a(k) - a(k-2)a(k+1)] = > > A*u^2 + B*u*t + C*t^2 + D*u + E*t + F, onde, > pela hipotese de inducao > aplicada a q(x), os coeficientes A, C, D e F > sao positivos. > > a(k-1)a(k) > a(k-2)a(k+1) > 0 (vide observacao > acima) > a(k)a(k+1) > a(k-1)a(k+2) > 0 ==> > > Multiplicando ambas as desigualdades, obtemos: > a(k-1)a(k)^2a(k+1) > a(k-2)a(k-1)a(k+1)a(k+2) > > Dividindo ambos os membros por a(k-1)a(k+1) > (que eh uma quantidade > positiva), obtemos: > a(k)^2 > a(k-2)a(k+2) ==> > > E = a(k)^2 - a(k-2)a(k+2) > 0 > > Analogamente, podemos provar que B > 0. > > Ou seja, t, u, A, B, C, D, E, F sao todos > positivos ==> > > b(k+1)b(k+2) - b(k)b(k+3) > 0 e acabou!!! > > Um abraco, > Claudio. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. 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