Correto. Concordo com as três soluções. Entretanto para o segundo exercício podemos dar uma solução mais rápida:
como a^2b^2c^2 + ab +ac + bc >= wabc para todo a, b, c positivos , fazendo a=b=c=1, temos:
w<=4 .
Resta provar que w=4 satisfaz a condição imposta no enunciado. Para tanto, usamos novamente, a desigualdade entere as médias, MA >= MG:
(a^2b^2c^2+ab+ac+bc)/4 >= (a^2b^2c^2abacbc)^{1/4} = (a^4b^4c^4)^{1/4}=abc =>
(abc)^2+ab+ac+bc >= 4abc.
Um grande abraço, Frederico.
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Tue, 19 Aug 2003 15:08:27 -0300
Oi, Frederico:
Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...
> (1) Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2
Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh consequencia de que (tg(x) - 1)^2 >= 0.
>
> (2) Encontre o maior número real w tal que wabc <= (abc)^2 + ab
> + ac + bc , para todo a,b,c >0 .
>
O problema equivale a achar o valor minimo de:
F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c > 0.
Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar calculo.
Media Geometrica >= Media Harmonica ==> (abc)^(1/3) >= 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==> abc >= 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==> F(a,b,c) >= 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c), com igualdade <==> a = b = c, ou seja: F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c
Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos: F(a,b,c) >= 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4
Media Aritmetica >= Media Geometrica ==> [27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 >= [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==> 27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x >= 4, com igualdade <==> 27/x^3 = x/3 <==> x = 3 <==> 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou seja: F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3.
Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando: a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 <==> a = b = c = 1 e nesse caso F(a,b,c) = 4
Conclusao: o maior w eh igual a 4.
> (3) V ou F: O produto da soma de nos reais positivos pela soma de seus
> inversos é >= ao quadrado da quantidade de números.
V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media geometrica de numeros positivos.
Um abraco, Claudio.
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