on 30.08.03 03:15, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá! > > Qual o número máximo de pontos no R^n tais que dois quaisquer distam 1? > > Duda. > > PS. Pontos do R^n são vetores (x_1, x_2, ..., x_n) onde cada x_i é real, e a > distância entre dois pontos x = (x_1, x_2, ..., x_n) e y = (y_1, y_2, ..., > y_n) é dado por d(x,y) = SOMA{ (x_i - y_i)^2 }^(1/2). > Oi, Duda:
Eu tenho 3 conjecturas sobre esse problema: 1) A resposta eh n+1; *** 2) Um conjunto de n+1 pontos com essa propriedade pode ser gerado da seguinte forma: P(0) = ( 0 , 0 , 0 , ... , 0 ) (n coordenadas iguais a zero) P(1) = ( 1 , 0 , 0 , ... , 0 ) P(2) = ( 1/2 , raiz(3)/2 , 0 , ... , 0 ) Para 3 <= k <= n, P(k) = (x(1),x(2),x(3),...,x(n)) eh definido da seguinte maneira: 1 <= i <= k-2 ==> x(i) = i-esima coordenada de P(k-1); x(k-1) = media aritmetica das (k-1)-esimas coordenadas de P(1), ..., P(k-1); x(k) = raiz(1 - x(1)^2 - x(2)^2 - ... - x(k-1)^2); i > k ==> x(i) = 0. Assim, teremos por exemplo: P(3) = ( 1/2 , raiz(3)/6 , raiz(6)/3 , 0 , ... , 0 ); Eh facil ver que, para 0 <= i < j <= 3, vale dist(P(i),P(j)) = 1. *** 3) (1) e (2) podem ser demonstrados por inducao. Preciso pensar mais um pouco. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================