Oi, pessoal: Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros positivos} eh denso em R.
A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte: Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n inteiros positivos. Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por: a(1) = a; b(1) = b Para n >= 1: a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n); a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n). Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1. Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e acabou... Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado. Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim, falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1. Qulquer dica serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================