on 17.10.03 15:29, Luis Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Sauda,c~oes, > > Hah algum tempo apareceu na lista a soma > S_n = \sum f_i para i=1,2,...n > > onde f_i = 2^i / (1 + 3^{2^i} ). > > Assim, S_1 = f_1 = 2 / (1 + 3^2) = 1/5. > > Somente agora pude pensar no problema > e encontrei > > S_n = 1/4 + 2^{n+1} / (1 - 3^{2^{n+1}} ). > > Alguem se lembra deste problema e sua > resposta? > > []'s > Luís > > Oi, Luis:
Antes de mais nada, bem vindo de volta a lista num momento em que esta parece estar sofrendo um ataque de algum proto-hacker pouco imaginativo. Dado o titulo das mensagens mais recentes, talvez estejamos testemunhando a vinganca absolutamente sem-graca de algum daqueles imbecis que o Nicolau expulsou da lista (muito justamente, diga-se de passagem). Sobre a sua soma, acho que a chave eh observar que: 2^k/(1 + 3^(2^k)) + 2^k/(1 - 3^(2^k)) = 2^(k+1)/(1 - 3^(2^(k+1))) Usando essa identidade, voce obtem uma "avalanche simplificadora" parecida com aquela do produto cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)....: -1/4 + S_n = 2/(1 - 3^2) + S_n = 2/(1 - 3^2) + 2/(1 + 3^2) + 2^2/(1 + 3^(2^2)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) = 2^2/(1 - 3^(2^2)) + 2^2/(1 + 3^(2^2)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) = 2^3/(1 - 3^(2^3)) + 2^3/(1 + 3^(2^3)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) = ... 2^n/(1 - 3^(2^n)) + 2^n/(1 + 3^(2^n)) = 2^(n+1)/(1 - 3^(2^(n+1))) ==> S_n = 1/4 + 2^(n+1)/(1 - 3^(2^(n+1))) ***** Alias, o 3 eh incidental, pois vale a identidade mais geral: 2^k/(1 + a^(2^k)) + 2^k/(1 - a^(2^k)) = 2^(k+1)/(1 - a^(2^(k+1))) para todo a <> 1 e -1. Assim, se f_k = 2^k/(1 + a^(2^k)), entao o S_n correspondente serah igual a: S_n = 2/(a^2 - 1) + 2^(n+1)/(1 - a^(2^(n+1))) Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================