on 22.10.03 09:49, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Oi pessoal, gostaria de uma ajuda na resolução deste > limite: > > lim (( 1+raiz n-esima de x)/2)^n , quando n tende a > infinito. > > obrigado , > > Um abraço, > > Amurpe > > Oi, Amurpe:
Legal esse! Claro que x tem que ser >= 0. Algumas exploracoes numericas sugerem que o limite eh igual a raiz(x), o que eh obvio pra x = 1. Pra provar isso no caso geral, acho que uma ideia seria estabelecer uma cota inferior e uma cota superior para a sequencia e provar que ambas convergem pra raiz(x). Por exemplo, a desigualdade MG <= MA implica que: raiz(1*x^(1/n)) <= (1 + x^(1/n))/2 ==> raiz(x)^(1/n) <= (1 + x^(1/n))/2 ==> raiz(x) <= ((1 + x^(1/n))/2)^n Agora, falta achar uma cota superior. (1 + x^(1/n))/2 = 1 + (x^(1/n) - 1)/2. Tomando logaritmos naturais e usando a desigualdade ln(1 + a) < a, para a > 0, teremos: ln((1 + x^(1/n))/2) = ln(1 + (x^(1/n) - 1)/2) < (x^(1/n) - 1)/2 ==> n*ln((1 + x^(1/n))/2) < n*(x^(1/n) - 1)/2 ==> ((1 + x^(1/n))/2)^n < e^(n*(x^(1/n) - 1)/2) = raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1)) Mas n*(x^(1/n) - 1) --> ln(x) quando n --> +infinito. (se nao me engano, esse foi um resultado que voce mesmo mandou pra lista ha algum tempo). Logo, raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1)) --> raiz(x) quando n --> +infinito. Assim, as cotas inferior e superior da sequencia tem como limite raiz(x). Isso implica que o limite da sequencia tambem eh raiz(x). Um abraco, Claudio. raiz(x) = (1 + raiz(x)^(1/n) - 1)^n >= 1 + n*(raiz(x)^(1/n) - 1)) > n*(raiz(x)^(1/n) - 1) (1 + x^(1/n))/2 = (1/2)*raiz(x)^(1/n)*(raiz(x)^(1/n) + 1/raiz(x)^(1/n)) 1 > 1 - x^(2/n) = (1 - x^(1/n))*(1 + x^(1/n)) ==> 1 - x^(1/n) < 1/(1 + x^(1/n)) 1 + x^(1/n) = (1 + raiz(x)^(1/n))^2 - 2*raiz(x)^(1/n) < (1 + raiz(x)^(1/n))^2 ==> A desigualdade MA <= MQ (media quadratica) implica que: (1 + raiz(x)^(1/n))/2 < raiz((1 + x^(1/n))/2) ==> (1 + raiz(x)^(1/n))^2 < 4*(1 + x^(1/n))/2 = 2*(1 + x^(1/n)) Como temos uma expressao elevada a n-esima potencia, acho que a desigualdade de Bernoulli deve entrar em algum lugar. Vou pensar um pouco e se achar uma demonstracao mando pra lista. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================