Leonardo, Eu pensei no sistema assim:
Enumeremos as equacoes: (1) x+y+z=a+b+1 (2) xy+(x+y)z=a+b+ab (3) xy=ab Isole (x+y) em (1) entao temos: (x+y)=(a+b+1)-z (4) Substitua (4) e (3) em (2) e obtemos a equacao do 2o grau em z: ab+(a+b+1-z)z = a+b+ab, simplificando, obtemos z^2-z(a+b+1)+(a+b) = 0 As solucoes dessa equacao sao z1 = a+b, z2=1. Entao, para cada valor de z, vamos encontrar os valores de x e y em funcao de a e b e ver quais sao as condicoes necessarias que a e b devem satisfazer para que as solucoes de x e y sejam positivas e reais. (Caso em que z2=1). Para z2=1, temos x+y=a+b xy=ab Entao, isolando y=ab/x e substituindo na 1a equacao obtemos a equacao do 2o grau em x: x^2-x(a+b)+ab=0 cujas solucoes sao x1=a ou x2=b. Para x1=a, obtemos y1=b e para x2=b, obtemos y2=a. Nesse caso, para z2=1, para que x e y sejas positivas, devemos ter a >0 e b > 0. (Caso em que z1=a+b). Substituindo esse valor de z1 em (1) obtemos x+y = 1 xy=ab Isolando x=1-y e substituindo em xy=ab, obtemos a equacao do 2o grau para y dada por y^2 - y + ab = 0 O discriminante dessa equacao e dado por Delta=1-4ab. Para que y tenha solucoes reais e positivas, devemos fazer com que 1-4ab>=0, ou ainda, 1-4ab >=0 => ab<=1/4. (*) Nesse caso, observe que as solucoes de y serao dadas por Y1 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0 (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*)) Y2 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0 (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*)) Porem, x=ab/y. Note, que y1 e y2 sao positivas, porem, da restricao (*) podemos ter o caso em que x1 <=0 e x2<=0 caso ab<=0. Portanto, para que tenhamos as solucoes x positivas e reais devemos acrescentar mais a restricao em (*) de que ab >=0. Nesse caso, a condicao final para z1=(a+b), devemos ter que 0<=ab<=1/4. Caso tenha errado em contas ou raciocinio, favor corrigir-me. Leandro. Los Angeles, CA. -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of leonardo mattos Sent: Tuesday, October 21, 2003 1:38 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Sistema (IME) x+y+z=a+b+1 xy+(x+y)z=a+b+ab xy=ab Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes reais e positivas para x e y. _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================