Uma maneira um pouco mais esperta de resolver isto é usando o método da interpolação de Lagrange. Como o seu polinômio é de grau 2, você tem 3 graus de liberdade ( as constantes a, b e c ). Então chute f(x) como sendo a soma de 3 polinômios de segundo grau bem espertos...
f(x) = a*(x-2)*(x-1) + b*(x-2)*(x-(-1)) + c*(x-1)*(x-(-1))
Estes 3 polinômios foram escolhidos (a menos das constantes) de tal forma que f avaliada em qualquer um dos 3 pontos do enunciado se reduz a apenas 1 destas parcelas (vai ficar claro nas contas abaixo). Assim conseguiremos calcular a, b e c rapidamente. Por exemplo,
2 = f(1) = a*(1-2)*(1-1) + b*(1-2)(1+1) + c*(1-1)*(1+1) = b*(-1)*(2) = -2b
-> b = -1 = -3/3
-4 = f(-1) = a*(-1-2)*(-1-1) = a*(-3)*(-2) = 6a -> a = -4/6 = -2/3
-1 = f(2) = c*(2-1)*(2+1)=c*1*3 = 3c -> c = -1/3
-> f(x) = (-2/3)*(x-2)*(x-1) - (3/3)*(x-2)*(x+1) - (1/3)*(x-1)*(x+1)
Você poderia parar por aqui, mas se quiser escrever este polinômio no formato usual, basta efetuar os produtos e juntar os termos ...
f(x) = (-1/3) * [ 2*(x^2-3x+2) + 3*(x^2-x-2) + 1*(x^2-1) ] f(x) = (-1/3) * [ 6x^2 - 9x - 3 ] f(x) = -2x^2 + 3x + 1
E aí está a resposta que você quer.
Mas, caso queria resolver o seu sistema na mão, basta um pouco de manipulação algébrica...
(I) a - b + c = -4 (II) a + b + c = 2 (III) 4a + 2b + c = -1
Somando (I) com (II) nós eliminamos b. -> 2a + 2c = -2 -> a + c = -1
Se obtivermos outra equação que não envolve b, talvez encontremos a e c...
Vamos criar uma combinação linear de (II) e (III) de forma que b desapareça...
Que tal (-2)*(II) + (III) ?
Isto nos diz que: - 2a - 2b - 2c + 4a + 2b + c = (-2)*2 - 1
-> 2a - c = -5
Resumindo, descobrimos que
a + c = -1
2a - c = -5Somando estas duas equações eliminamos c...
3a = -6 -> a = -2
-> -2 + c = - 1 -> c = - 1 + 2 = 1
Então a = -2 e c = 1
De (I) extraímos b pois b = 4 + a + c = 4 - 2 + 1 = 3
-> a = -2, b = 3, c = 1
Desta forma, o polinômio que você busca é f(x) = -2x^2 + 3x + 1
Note que é exatamente a mesma resposta obtida pelo método anterior (como devia ser).
Espero que esteja claro ;)
-- []s Felipe Pina
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