On Sat, Nov 08, 2003 at 03:32:24AM -0200, Thiago Cerqueira wrote: > o que, em verdade, é o infinito?
Outras pessoas já mandaram respostas boas mas acho que eu posso complementar. Há muitos usos para a palavra infinito em matemática. Vou enumerar alguns. Em teoria dos conjunto há conjuntos infinitos (um conjunto A é infinito se existir uma função injetora mas não sobrejetora f: A -> A). Há também dois tipos de números infinitos: cardinais infinitos e ordinais infinitos. Dois conjuntos A e B tem o mesmo cardinal se existir uma bijeção f: A -> B; Cantor provou que existem conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes, por exemplo N (o conjunto dos naturais) e R (o conjunto dos reais) e usou isso para demonstrar a existência de números transcendentes (que não satisfazem nenhuma equação polinomial não trivial com coeficientes inteiros). A definição de um número ordinal é um pouco mais complicada, vou apenas dar uma idéia vaga: você começa a contar 0,1,2,3,4,... e, chegando ao infinito, continua, 0,1,2,3,4,...,w,w+1,w+2,w+3,w+4,...,w2,w2+1,...,w3,...,w4,.......,w^2,... Tudo isso está bem explicado no livro Naïve Set Theory, de Halmos. Em análise clássica o infinito aparece como uma palavra que não corresponde a nada (a un número). Por exemplo, se escrevemos lim_{n -> infinito} 1/n = 0 não estamos dizendo que existe um número chamado infinito e que 1/infinito = 0. Não existe no conjunto dos números reais nenhum número chamado de infinito. Mas isso não nos proíbe de acrescentarmos objetos novos a R. Em análise complexa isto é muito comum e útil e o conjunto C U {infinito} é conhecido como a esfera de Riemann. Em geometria também é útil "inventar" pontos novos: uma construção deste tipo é a geometria projetiva na qual acrescentamos ao plano não um, mas infinitos pontos no infinito, aliás uma reta inteira de pontos no infinito. Outra teoria em que aparecem números infinitos é em análise não-standard, um forma diferente de fazer análise onde as dificuldades com epsilons e deltas são trocadas por dificuldades lógicas pois nem toda frase é permitida. Ainda outro lugar onde números infinitos aparecem é na construção de Conway dos números surreais. Se a sua preocupação é de caráter lógico, talvez ela seja a de Hilbert: se as demonstrações usando conjuntos infinitos não podem ser aritmetizadas para falar apenas de inteiros. Como Gödel nos ensinou, a resposta é não: a permissão para falar de conjuntos infinitos nos torna capazes de demonstrar mais, mesmo se nos limitarmos a frases finitistas. Ou, em um tom relacionado, talvez você esteja preocupado com a consistência de falar de conjuntos infinitos: novamente Gödel nos ensina que é impossível demonstrar a consistência dos raciocínios infinitários usando ferramentas finitistas. A conclusão é que o infinito aparece em matemática de tantas maneiras diferentes que fica bem difícil responder a sua pergunta sem você explicar melhor o que você espera. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================