Ola Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L ,
Obrigado ! E por oportuno, tambem lhe parabenizo. Voce tem contribuido com excelentes
mensagens, merecendo assim a nossa mais sincera consideracao. Tenho gostado de ver
voce falar sobre topologia e confesso que a cada dia aumenta a minha admiracao por este
ramo da Matematica.
Eu nao sou um especialista em Teoria da Relatividade. Em verdade, sempre tive dificuldade
de compreender Fisica. Em particular, nunca compreendi a equacao : F=MA. Hoje entendo
melhor as razoes das minhas dificuldades de aprendizagem.
1) "F=MA" NUNCA FOI a Formulacao Newtoniana da segunda lei do movimento. Quem le os
PRINCIPIA vai ver que Newton explicitamente diz que "forca e toda causa capaz de alterar a
QUANTIDADE DE MOVIMENTO de um corpo", isto e, alterar aquilo que hoje nos chamamos
de MOMENTO LINEAR.
Assim, F=MA ( Forca e igual a massa vezes aceleracao ), e uma ( infeliz ) formulacao moderna
que esconde o principal, que e a percepcao fisica e objetiva da realidade que ela representa.
Me parece que as coisas sao assim :
Existe a Primeira Lei ( Fato Experimental ) : Todo corpo tende a manter o seu estado de repouso
ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que alguma forca atue sobre ele.
Isto e, se observarmos um corpo de um REFERENCIAL INERCIAL e ele nao estiver no "estado
natural" expresso pela Primeira Lei, concluimos que ha uma forca atuando nele. Portanto, a
Primeira Lei e uma definicao implicita e qualitativa de forca, pois nos fornece um criterio que
nos permite diagnosticar a presenca dela.
Surge, naturalmente, a questao : Como mensurar forca ?
Newton fez muitas experiencias para responder a pergunta acima. Em particular, nesta pesquisa,
ele descobriu o que chamamos MASSA de um corpo ... Por incrivel que pareca, e verdade ! Os
Livros assumem que MASSA e algo dado, simples de perceber. Quando muito, dao uma definicao
operacional deste conceito. Agora, veja como Newton a concebe :
a QUANTIDADE DE MATERIA de um corpo e a medida do mesmo, oriunda conjuntamente de sua
grandeza e densidade.
E olhando as coisas assim que nos podemos compreender a segunda lei ...
Para um corpo particular, com densidade constante, Newton fez varias medidas e descobriu que
sempre ocorria o seguinte ( F e forca, A e aceleracao ) :
F1 / A1 = F2 / A2 = F3 / A3 = ... = Fn/An = ...
Isto e, a forca e diretamente proporcional a aceleracao. Aqui surge a pergunta : qual e a constante
de proporcionalidade ? Newton descobriu que A CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE E
PROPORCIONAL A QUANTIDADE DE MATERIA. Portanto, o que ele descobre e que a quantidade
de materia presente em um corpo e uma "medida" valida para a resistencia que o corpo oferece
quando se deseja alterar a sua QUANTIDADE DE MOVIMENTO.
Conseguentemente, a segunda lei quer dizer o seguinte : A forca e proporcional a aceleracao e o
coeficiente de proporcionalidade para um corpo especifico qualquer e proporcional a quantidade
de materia que esse corpo tem.
Foi uma convencao posterior que transformou o coeficiente de proporcionalidade em 1 e dai surgiu
a forma "moderna" de se falar : F/A=m => F=mA. Todavia, esconder estas coisas todas, leva a
uma compreensao pobre do "conteudo objetivo, fisico e experimental das leis", transformando a
Fisica numa manipulacao de uma Matematica de 2 categoria, trivial e vagabunda.
Um aluno mais exigente e sensivel, "sente" que as coisas, na ralidade, nao sao assim, e passa a
ter dificuldades de se adaptar a um ensino, desta forma, mediocre e trivial. Se ele nao tiver
determinacao ou nao encontrar livros e professores responsaveis, dificilmente vai se empolgar com
estas coisas.
Portanto, que fique claro : MASSA nao e QUANTIDADE DE MATERIA. A Massa das
experiencias dinamicas q que nos referimos e uma medida da resistencia que um corpo oferece a alteracao
do seu estado inercial de movimento. Esse propriedade e proporcional a quantidade de materia.
Respondendo a sua pergunta, F=dQ/dT tanto na Teoria da Relatividade quanto na Mecanica
Newtoniana. F=MA não e uma formulacao Newtoniana !
2) Concordo. Toda traducao deve ser fiel ao espirito do texto original, o que nao ocorre muito. Uma traducao
mal feita pode destruir o conteudo original. Todo estudante deve procurar ler os classicos em sua
lingua nativa.
Voce tocou no ponto mais bonito da Fisica-Matematica. E quando um Fisico, percebendo uma pro-
priedade do mundo precisa descreve-la e entao procura uma teoria matematica cujos objetos
tenham as mesmas propriedades que ele ve nos objetos fisicos que esta investigando. A Matematica,
neste sentido, e apenas uma LINGUAGEM CONVENIENTE, acessoria portanto. Mas, parece, e a unica
maneira que nos conhececmos de "falar" sobre os fenomenos naturais.
Existem inumeros belissimos exemplos neste sentido.
Vou dar um exemplo : A Teoria da Relatividade afirma que AS LEIS DA FISICA SAO AS MESMAS
PARA QUAISQUER DOIS REFERENCIAS INERCIAIS UM EM RELACAO AO OUTRO.
Bom, o que significa isso ? Significa que se eu formular uma lei fisica tal que fazendo uma mudanca
de referencial, essa lei mude ou perca a validade, entao eu nao formulei uma lei fisica ou a minha
lei fisica esta errada. Ora, um Fisico, crente neste fato, vai buscar na Matematica algo que corresponda
e exprima RIGOROSAMENTE esta percepcao. Na Matematica, isso ocorre com toda formulacao
COVARIANTE. Assim, o Fisico fala : TODA LEI FISICA TEM QUE TER UMA FORMULACAO
COVARIANTE, caso contrario, nao e a formulacao de uma lei fisica.
Assim :
( Fisica ) Mesma Lei em todos os referenciais = ( Matematica ) Formulacao Covariante
Isto e :
Ao percebemos ( com a intuicao ) uma qualidade do mundo buscamos na Matematica uma
a forma adeguada e rigorosa de falarmos aquilo que percebemos.
E neste contexto que se insere a sua pergunta. De fato, e conveniente representarmos o tempo por
um complexo.
Einstein mostrou que o tempo nao e absoluto, isto e, que existe o tempo proprio de cada referencial.
Assim, quando OCORRE ALGUMA COISA, um evento, ele ocorre num determinado instante PARA
UM REFERENCIAL ESPECIFICO, quero dizer, ele ocorre em UM LUGAR ( TRES COORDENADAS )
e num determinado INSTANTE ( QUARTA COORDENADA ). Em Newton, a quarta coordenada, o tempo,
era igual para todos, nao havendo o problema de especifica-lo quando quisessemos falar de um
determinado fato. Em Einstein ha esse problema e portanto precisamos dizer EM QUE INSTANTE
o fato ocorre. Essas quatro coordenadas sao, evidentemente, um espaco quadri-dimensional e precisamos
passar esses quatro numeros ao falarmos sobre algo.
Um ponto neste espaco e chamado PONTO DE UNIVERSO e a cada particula em consideracao
corresponde uma LINHA DE UNIVERSO. Para simplificar, vou imaginar que as tres coordenadas
espaciais estao sintetizadas em um unico eixo ( o eixo das abscissas ). O eixo das ordenadas sera
o eixo dos tempos.
Exemplo : Qual a linha de Universo de um corpo em repouso ? Claramente uma reta da forma
X = r ... O tempo vai passando mais ela nao sai do lugar. Em geral, a linha de universo de um
corpo comum e uma funcao continua, pois ele muda continuamente de posicao e o tempo passa
continuamente por ele
E conveniente representarmos o tempo por um numero complexo porque isso nos permite tratar com
maior clareza problemas de singularidades temporais e paradoxos, mas nao ha uma exigencia quanto
a isso. Para ver isso, considere um sinal a velocidade da luz que parte de X1,Y1,Z1 no instante
T1 e se dirige para o local X2,Y2,Z2 que ocorrera no instante T2. Como a velocidade e C ( velocidade
da luz ), entao, a distancia percorrida e :
C (T2 - T1 )
Mas, esta mesma distancia, usando a metrica euclidiana, e :
raiz( X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1-Z2)^2 ) . Isto e : C(T2 - T1 ) = raiz( X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1-Z2)^2 ) (X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1 -Z2)^2 - (C^2)(T2 - T1)^2 = 0
Se estivermos tratando de quaiquer dos eventos, o numero ( em Relatividade Geral ) :
S12 = raiz ( (X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 + (Z1 -Z2)^2 - (C^2)(T2 - T1)^2 ) e chamado
INTERVALO entre os dois eventos. Se adotarmos a convencao de chamarmos de Ta (tau)
o valor iCT, isto e : Ta=iCt, entao a formulacao diferencial do "arco" da linha de universo
ficara como :
ds^2 = - (dx^2 + dy^2 + dz^2 + dTa^2 )
E a essa grandeza Ta = iCt que NOS PERMITE DAR UM TRATAMENTO TRANQUILO
ao comprimento de arco na linha do universo que leva muitos fisicos a dizerem que o tempo
pode ser representado como um numero complexo. Observe, entretando, que isto e apenas
uma forma inteligente de obtermos, para dois pontos de universos, uma formulacao do comprimento
de arco equivalente ao valor bem conhecido da analise matematica :
ds^2 = dx^2 + dy^2
Assim, respondendo a sua pergunta : realmente, o tempo ( ou a grandeza Ta relacionada com o
tempo tal como expliquei ) e convenientemente expresso por um numero imaginario porque isso
facilita enormemente a expressao diferencial das leis relativisticas ( da relatividade geral ). Em particular,
o comprimento de arco numa linha de universo, o que da origem a um tratamento facilitado de
outrso aspectos.
Gostaria de ver voce abordando um assunto que sempre me empolgou.
Alguem ( Nao me lembro o nome agora ) definiu os Espacos Metricos e a consequente definicao
de Metrica, com aquelas tres propriedades que todo mundo sabe. Por que aquelas tres
propriedades ? Por que nao 4 ? Por que exatamente aquelas tres ? Em que sentido aqueles
leis atendem de forma satisfatoria as nossas necessidades ? Por que nao e, por exemplo :
D(X,Y) > 0 D(X,Y) = D(Y,X) D(X,Y) =< 2D(X,Z) + 3D(Z,Y)
?????
Um Grande Abraco a Todos Um Abraco especial ao Artur Paulo Santa Rita 1,2300,161103
From: "Artur Coste Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
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To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: RE: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade
Date: Sat, 15 Nov 2003 21:06:08 -0200
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Oi Paulo! Inicialmente, gostaria de parabeniza-lo pelo excelente texto que vc mandou para a lista hah alguns dias, pegando um gancho numa observacao que eu fiz a respeito de um professor de Fisica que tive (para que nao fique uma impressao errada, friso que ele eh um excelente fisico, grande pessoa e, apesar de nao gostar muito de detalhes matematicos, conhece profundamente matematica). Eu tenho uma duvida, infelizmente ainda nao tive oportunidade de me aprofundar em T da Relatividade. Na Fisica classica de Newton, temos a classica equacao f = ma (forca = massa * aceleracao). Mas eu jah li que, na Fisica de Einstein, temos que f = d/dt(m*v), isto eh, forca eh a derivada com relacao ao tempo da quantidade de movimento (momentum linear) m*v. Se admitrimos a massa consatante, chegamos aa equacao de Newton. Mas, na T. Da Relatividae, a massa varia com o tempo segundo a famos equacao Einstein v = v_0/Raiz(1 - v^2/c^2). Minha duvida eh, com relacao a que tempo devemos derivar o momentum linear? Qual passa a ser o verdadeiro significado de t? Hah muito tempo livro entao em voga, do fisico ingles Stephen Hawkins (nao estou certo a respeito do sobrenome), "Uma breve Historia do Tempo" Nao sei se no original o autor escreveu story ou history...nao eh a mesma coisa. Mas eu li a traducao em Portugues, que foi extremamente infeliz, e nao gostei do livro. Mas la me chamou a atencao que Hawkins dizia que o tempo podia ser visto como uma variavel complexa. Isto faz sentido? Um abraco Artur PS.: Recomendo a todos que, em se tratando de livros tecnicos ou cientificos, deem preferencia, sempre que possivel, aa obra original. No caso de Einstein, infelizmnete, a maioria dos originais estah em alemao, pois foram scritos antes que ele se refugiasse nos Estados Unidos, creio que fugindo dos nazistas de Hitler na epoca da segunda guerra mundial
>-----Original Message----- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] >rio.br] On Behalf Of Paulo Santa Rita >Sent: Saturday, November 15, 2003 8:20 PM >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade > >Ola a todos ! > >Para uma boa compreensao de como o PRINCIPIO DA ANTECEDENCIA DAS CAUSAS >esta >implicitamente pressuposto ( gratuitamente ) na Teoria da Relatividade, uma >exposicao lucida pode ser vista em : > >http://ghtc.ifi.unicamp.br/pdf/ram-29.pdf > >Um abraco aTodos >Paulo Santa Rita >7,2018,151103 > >_________________________________________________________________ >MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > >======================================================================= == >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >======================================================================= ==
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