on 21.11.03 22:26, Thais Spiegel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > N?o consigo resolver essas quest?es, se algu?m puder me ajudar ... > > -Sendo AA' , BB' , CC' e DD' arestas paralelas de um cubo cuja base ? o > quadrado ABCD, calcule a medida da perpendicular comum ?s diagonais > de faces AD' e BA' , em fun??o da aresta a do cubo. >
Oi, Thais: Uma ideia eh usar geometria analitica e vetores no R^3. Por exemplo, coloque a origem em A, o eixo x na direcao de AB, o eixo y na direcao de AD e o eixo z na direaco de AA'. Assim: A = (0,0,0) B = (a,0,0) A'= (0,0,a) D'= (0,a,a) Logo, os vetores correspondentes a AD' e BA' seriam: AD' = D' - A = (0,a,a) e BA' = A' - B = (-a,0,a) Equacao da reta AD': (x,y,z) = (0,0,0) + u*(0,a,a) = a*(0,u,u) Equacao da reta BA': (x,y,z) = (a,0,0) + v*(-a,0,a) = a*(1-v,0,v) onde u e v sao parametros reais independentes. Um vetor perpendicular a AD' e BA' seria dado pelo produto vetorial desses dois vetores: i j k 0 a a = a^2*i - a^2*j + a^2*k -a 0 a Ou seja, podemos usar (a,-a,a) = a*(1,-1,1). Agora fazemos a*(0,u,u) + k*a*(1,-1,1) = a*(1-v,0,v) onde k eh um parametro a ser determinado. O significado geometrico disso eh o seguinte: uma vez achado o vetor perpendicular comum (digamos W = a*(1,-1,1)), temos que achar um ponto P sobre AD' e um escalar k, tal que o ponto P + k*W pertenca a BA'. a*(0,u,u) + k*a*(1,-1,1) = a*(1-v,0,v) ==> (k,u-k,u+k) = (1-v,0,v) ==> k = 1 - v u - k = 0 u + k = v ==> 1 - v = u 2u = v ==> u = 1/3, v = 2/3 ==> os pontos sobre AD' e BA', extremidades da perpendicular comum, sao, respectivamente: a*(0,1/3,1/3) e a*(1/3,0,2/3) ==> d^2 = a^2*(1/3^2 + 1/3^2 + 1/3^2) ==> d = a/raiz(3). Imagino que o outro problema saia de forma analoga. Um abraco, Claudio. > -Sendo AA' , BB' , CC' e DD' arestas paralelas de um cubo cuja base ? o > quadrado ABCD, calcule a medida da perpendicular comum ? diagonal AC' > do cubo e ? diagonal BA' da face, em fun??o da aresta a do cubo. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================