Como provo que , dado a e b tais que a e b impares
positivos e a > b, sendo d = mdc(a,b) , entao d tambem
poderá ser d = mdc(a - b , b)????
Se d=mdc(a,b), então a=Ad e b=Bd, e mdc(A,B)=1.
Logo mdc(a-b,b)=mdc(Ad-Bd,Bd)=d.mdc(A-B,B)
Vamos agora por contradição:
Suponha que mdc(A-B,B)=k, com k diferente de 1.Então A-B=rk e B=sk. Mas isso implica em
A=rk+B=rk+sk=(r+s)k. Logo k é fator comum de A e B, portanto mdc(A,B)=k, o que contradiz a hipótese de mdc(A,B)=1. Logo mdc(A-B,B)=1 e com isso concluímos que mdc(a-b,b)=d.1=d
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