on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá! > > Gostaria de provar o seguinte resultado: > Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que > é denso (ie: para todo x < y em T existe z em T com x < z < y). > > Obrigado. > Oi, Domingos.
O que voce acha disso aqui? Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada por F(x) = intervalo cujo infimo eh x. Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A -> Q dada por G(I) = fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume que Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma, escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q e -p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como Q eh enumeravel, A tambem serah. Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S -> Q eh injetiva) ==> contradicao ==> algum subconjunto de S tem que ser denso. Serah que tah certo? Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================