Temos que, no 1o quadrante, o seno eh estritamente crescente e o cosseno eh estritamente decrescente. Logo, neste mesmo quadrante sen(cos) eh cos(sen) sao ambas estritamente decrescentes. No ponto inicial, 0, temos que sen(cos(0)) = sen(1)=~ 0,841 < 1 = cos(sen(0)) (em radianos). Podemos tambem concluir esta desigualdade observando que 1 < Pi/2 e, portanto, sen(1) < sen(Pi/2) =1. Para que sen(cos(u)) = cos(sen(u)), devemos ter sen(cos(u)) = sen(Pi/2 - sen(u)). Os enos de dois arcos igualam-se sse suas determinacoes diferirem de Pi. Logo, para que a igualdade se verifique devemos ter k*Pi + Pi/2 - sen(u) = cos(u) para algum inteiro k. Segue-se que sen(u) + cos (u) = raiz(2) sen(Pi/4 + u) = (k+1/2) * Pi. Mas para todo u temos que | raiz(2) sen(Pi/4 + u)| <= raiz(2) e para todo k temos |(k+1/2) * Pi| >= Pi/2 > raiz(2). Logo, nunca teremos sen(cos(u)) = cos(sen(u)). Da continuidade das funcoes sen e cos em R, e, portanto, da continuidade das compostas sen(cos) e cos(sen), segue-se que, como sen(cos(x)) < cos(sen(x)) para x = 0, entao sen(cos(x)) < cos(sen(x)) para todo real x. Se houvesse inversao no sentido da desigualdade, as duas curvas teriam que se intersectar em algum ponto, o que, como vimos nao ocorre. Um abraco e bom 2004 Artur
-----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Jefferson Franca Sent: Tuesday, December 30, 2003 11:17 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Trigonometria Caros amigos participantes da lista, durante algum tempo a questão q vou propor tem me deixado intrigado a bendita é a seguinte:Seja x um ângulo do 1 quadrante, qual é o maior sen(cosx) ou cos(senx) ? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================