On Thu, Jan 22, 2004 at 07:41:00PM -0200, André Martin Timpanaro wrote: > Se n é um número impar e a é um real qualquer, quando a equação abaixo pode > ser resolvida por radicais? > x^n + a(x+1)=0 > Se for possível, quais são as raízes reais dessa equação?
Não entendi pq n ímpar; talvez para garantir que existe raiz real, mas isto não tem muito a ver, tem? Isto é um problema de teoria de Galois e não sei se entendi bem a pergunta. Acho que você quer a resposta em função de n e não em função de n e a, certo? Ou seja, você quer saber para quais valores de n existe uma fórmula com radicais que dê a raiz em termos de a. É isso? Se for isso você quer saber para que valores de n o grupo de Galois de x^n + a*x + a é solúvel, onde os coeficientes estão no corpo Q(a), sendo a um transcendente que pode igualmente bem ser tratado como outra viariável desde que entendamos que o grupo é em relação à variável x. Eu *acho* que este grupo de Galois é sempre o grupo simétrico S_n. Eu sei que o grupo de Galois de x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 é S_n (onde a_{n-1}, ..., a_0 são algebricamente independentes, ou, se você preferir, são outras variáveis). O grupo de Galois de um polinômio de grau n "em geral" é S_n e acho que este polinômio é bem "geral" (as aspas marcam que isto não é uma afirmação das mais precisas). Eu verifiquei no maple para n <= 9 e deu certo (isto é, para n <= 9 o grupo é mesmo S_n). Se isto estiver certo a resposta é que a equação pode ser resolvida por radicais apenas para n <= 4. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================